Traction et compression exercice corrigé

Traction et Compression exercice corrigé

Contexte : Traction et compression

Un ingénieur civil conçoit une structure qui comprend une poutre en acier. Cette poutre doit résister à des forces de traction et de compression dues à diverses charges et contraintes.

Données:

  • Matériau de la poutre: Acier
  • Longueur de la poutre (L): 8 mètres
  • Section transversale de la poutre: Circulaire, avec un diamètre (d) de 0.15 mètres
  • Module d’élasticité de l’acier (E): 200 GPa
  • Limite élastique en traction de l’acier: 250 MPa
  • Limite élastique en compression de l’acier: 250 MPa
  • Poids spécifique de l’acier: 7850 kg/m³

Partie A: Analyse en Traction

  1. Calculez l’aire de la section transversale de la poutre.
  2. Si une force axiale de traction de 300 kN est appliquée à la poutre, déterminez la contrainte de traction dans la poutre.
  3. Vérifiez si la poutre est en sécurité sous cette charge de traction (c’est-à-dire, la contrainte est-elle inférieure à la limite élastique?).
  4. Calculez l’allongement de la poutre sous cette charge, en supposant un comportement élastique.

Partie B: Analyse en Compression

  1. Si une force axiale de compression de 300 kN est appliquée à la poutre, déterminez la contrainte de compression dans la poutre.
  2. Vérifiez si la poutre est en sécurité sous cette charge de compression.
  3. Calculez le raccourcissement de la poutre sous cette charge, en supposant un comportement élastique.
  4. Discutez brièvement la possibilité de flambage dans ce scénario et les facteurs qui pourraient y contribuer.

Réflexions supplémentaires:

  • Comment les résultats changeraient-ils si la section transversale de la poutre était rectangulaire plutôt que circulaire?
  • Quelles seraient les implications si la longueur de la poutre était doublée, tout en maintenant les mêmes charges?

Correction : traction et compression

Partie A: Analyse en Traction

1. Calcul de l’aire de la section transversale:

La section transversale de la poutre est un cercle. Pour un cercle avec un diamètre \(d = 0.15\) m, le rayon \(r\) est de \( \frac{d}{2} \).

Donc, \( r = \frac{0.15}{2} \) m. L’aire \(A\) de la section transversale est alors donnée par la formule de l’aire d’un cercle:

\[
A = \pi r^2 \] \[
A  = \pi \left(\frac{0.15}{2}\right)^2 \approx 0.0177 \text{ m}^2.
\]

2. Calcul de la contrainte de traction:

La contrainte de traction \(\sigma\) est calculée en utilisant la force appliquée \(F\) et l’aire \(A\).

Pour une force appliquée de 300 kN (ou \(300 \times 10^3\) N), la contrainte est:

\[
\sigma = \frac{F}{A} \] \[
\sigma  = \frac{300 \times 10^3 \text{ N}}{0.0177 \text{ m}^2} \] \[
\sigma  \approx 16.95 \times 10^6 \text{ Pa} = 169.5 \text{ MPa}.
\]

3. Vérification de la sécurité sous la charge de traction:

La contrainte de traction calculée de 169.5 MPa est à comparer avec la limite élastique en traction de l’acier, qui est de 250 MPa.

Puisque \(169.5 \text{ MPa} < 250 \text{ MPa}\), la poutre est considérée comme sûre sous cette charge de traction.

4. Calcul de l’allongement de la poutre:

L’allongement \(\Delta L\) de la poutre sous la charge est calculé en utilisant la loi de Hooke.

Pour un module d’élasticité \(E\) de l’acier de 200 GPa (ou \(200 \times 10^9\) Pa) et une longueur originale de la poutre \(L\) de 8 mètres, l’allongement est:

\[
\Delta L = \frac{\sigma \times L}{E} = \frac{169.5 \times 10^6 \times 8}{200 \times 10^9} \text{ m} \] \[
\Delta L \approx 0.00678 \text{ m} = 6.78 \text{ mm}.
\]

Partie B: Analyse en Compression

1. Contrainte de compression dans la poutre

La contrainte de compression est identique à la contrainte de traction, car la force et l’aire de la section transversale restent les mêmes. Ainsi,
\begin{equation}
\sigma = 169.5 \text{ MPa}.
\end{equation}

2. Vérification de la sécurité sous charge de compression

Comme pour la traction, la contrainte de compression (169.5 MPa) est également inférieure à la limite élastique en compression de l’acier (250 MPa). La poutre est donc sécuritaire sous cette charge.

3. Raccourcissement de la poutre

Le raccourcissement est calculé de la même manière que l’allongement,
\begin{equation}
\Delta L = 6.78 \text{ mm}.
\end{equation}

Discussion sur le flambage

Le flambage est une considération cruciale lorsqu’une colonne est soumise à une charge de compression.

Pour cette poutre, un calcul complet du risque de flambage nécessiterait des informations supplémentaires sur les conditions de support et de fixation aux extrémités.

La formule d’Euler pour le flambage peut être utilisée pour une première estimation.

Réflexions supplémentaires:

Section transversale rectangulaire : Si la section transversale était rectangulaire, cela affecterait la répartition des contraintes et pourrait modifier la résistance de la poutre au flambage.

Doublement de la longueur de la poutre : Si la longueur de la poutre était doublée, cela augmenterait significativement le risque de flambage sous compression, et l’allongement/raccourcissement serait également doublé sous les mêmes charges, en supposant un comportement élastique linéaire.

D’autres exercices de Résistance des materiaux :

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