Contrainte de Compression dans un Pilier
Comprendre le calcul de la Contrainte de Compression dans un Pilier
Un pilier en béton armé doit être construit pour soutenir une partie d’une structure dans un bâtiment de grande hauteur.
Le pilier a une section transversale carrée et doit supporter une charge axiale due au poids des étages supérieurs ainsi qu’aux charges d’utilisation.
Données:
- Dimensions de la section transversale du pilier : 30 cm x 30 cm
- Hauteur du pilier : 3 m
- Charge permanente (Poids propre + poids des éléments structurels permanents) : 300 kN
- Charge d’exploitation (mobilier, personnes, etc.) : 200 kN
- Matériau : Béton armé, avec une contrainte admissible en compression de 17 MPa
Objectif:
Vérifier si le pilier peut supporter les charges données sans dépasser la contrainte admissible du matériau.
Questions:
1. Calcul de la charge totale supportée par le pilier
2. Calcul de l’aire de la section transversale du pilier
3. Calcul de la contrainte dans le pilier
4. Vérification de la contrainte admissible
Correction : calcul de la Contrainte de Compression dans un Pilier
1. Calcul de la charge totale supportée par le pilier
La charge totale supportée par le pilier est la somme de la charge permanente et de la charge d’exploitation:
\[ F_{\text{totale}} = F_{\text{permanente}} + F_{\text{exploitation}} \] \[ F_{\text{totale}} = 300 \text{ kN} + 200 \text{ kN} \] \[ F_{\text{totale}} = 500 \text{ kN} \]
2. Calcul de l’aire de la section transversale du pilier
La section transversale est carrée avec chaque côté de 30 cm, donc l’aire \( A \) est donnée par:
\[ A = c^2 = (30 \text{ cm})^2 = 900 \text{ cm}^2 \]
Pour convertir en mètres carrés (unité plus pratique pour les contraintes en MPa):
\[ A = 900 \text{ cm}^2 \times (0.01 \text{ m/cm})^2 \] \[ A = 0.09 \text{ m}^2 \]
3. Calcul de la contrainte dans le pilier
La contrainte \( \sigma \) est calculée en utilisant la formule:
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Substituons les valeurs de la force totale (en Newtons, donc multiplié par 1000 pour convertir de kN à N) et de l’aire (en m²):
\[ \sigma = \frac{500 \text{ kN} \times 1000 \text{ N/kN}}{0.09 \text{ m}^2} \] \[ \sigma = \frac{500000 \text{ N}}{0.09 \text{ m}^2} \] \[ \sigma \approx 5,555,556 \text{ Pa} \]
Convertir en MPa (MegaPascals) puisque \( 1 \text{ MPa} = 10^6 \text{ Pa} \):
\[ \sigma \approx \frac{5,555,556 \text{ Pa}}{10^6 \text{ Pa/MPa}} \] \[ \sigma \approx 5.56 \text{ MPa} \]
4. Vérification de la contrainte admissible
La contrainte calculée dans le pilier est de 5.56 MPa. Comparons cela à la contrainte admissible de 17 MPa pour le béton:
\[ \sigma_{\text{calculée}} = 5.56 \text{ MPa} < \sigma_{\text{admissible}} = 17 \text{ MPa} \]
Conclusion
La contrainte dans le pilier (5.56 MPa) est inférieure à la contrainte admissible pour le béton armé (17 MPa).
Par conséquent, le pilier est jugé capable de supporter les charges imposées de manière sécuritaire sans dépasser les limites admissibles de contrainte pour le matériau.
Il n’est pas nécessaire d’augmenter la taille de la section ou de changer le matériau, et la conception actuelle est adéquate.
Calcul de la Contrainte de Compression dans un Pilier
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