Torsion d’une barre circulaire

Torsion d’une barre circulaire

Comprendre la torsion d’une barre circulaire

Dans le cadre de la conception des ponts suspendus, en tant qu’ingénieur en génie civil, il est crucial de comprendre les forces auxquelles les composants critiques sont soumis.

Le câble principal d’un pont suspendu joue un rôle essentiel dans la sustentation du tablier du pont et la répartition des charges.

Par conséquent, une analyse approfondie de la torsion subie par ce câble est indispensable pour assurer la sécurité de la structure.

Caractéristiques du câble étudié :

  • Matériau : Acier
    • Module d’Élasticité : 200 GPa
    • Module de Cisaillement : 80 GPa
  • Diamètre : 0,2 m
  • Longueur : 10 m
  • Charge appliquée : 500 kN
  • Variation de température : 30°C

Objectif de l’exercice :

L’objectif est de calculer le moment de torsion total subi par le câble et d’évaluer la contrainte de torsion résultante pour déterminer si le câble peut résister à ces contraintes sans subir de dommages.

Questions:

1. Moment de torsion dû à la charge :
Calculer le moment de torsion \(T\) dû à la charge appliquée, en considérant la force \(F = 500\, \text{kN}\) et le rayon \(r = 0.1\, \text{m}\).

2. Moment de torsion dû à la variation de température :
En tenant compte d’une variation de température de 30°C, du coefficient de dilatation thermique linéique de l’acier (\(\alpha = 12 \times 10^{-6} / ^\circ\text{C}\)), et du module de cisaillement (\(G = 80\, \text{GPa}\)), recalculer le moment de torsion \(T_\theta\) dû à cette variation de température.

3. Moment de torsion total :
Additionner les moments de torsion calculés dans les questions 1 et 2 pour obtenir le moment de torsion total \(T_{\text{total}}\).

4. Contrainte de torsion :
Utiliser le moment de torsion total et le moment quadratique correctement calculé pour la section circulaire pleine afin de recalculer la contrainte de torsion \(\tau\) subie par le câble.

Correction : Torsion d’une barre circulaire:

1. Moment de torsion dû à la charge :

La formule pour calculer le moment de torsion \(T\) est

\[ T = F \times r \]

Données:

  • \( F = 500\, \text{kN} = 500,000\, \text{N} \)
  • \( r = \frac{\text{Diamètre}}{2} = 0.1\, \text{m} \)

Calcul:

\[ T = 500,000\, \text{N} \times 0.1\, \text{m} \] \[ T = 50,000\, \text{Nm} \]

2. Moment de torsion dû à la variation de température :

Données:

  • \(\alpha = 12 \times 10^{-6} / ^\circ\text{C}\)
  • \(G = 80\, \text{GPa} = 80 \times 10^9\, \text{N/m}^2 \)
  • \(r = 0.1\, \text{m} \)
  • \( A = \pi \times r^2 \)
  • \(\Delta T = 30 ^\circ\text{C}\)

Le moment de torsion dû à la variation de température est :

\[ T_{\theta} = \alpha \times G \times A \times \Delta T \] \[ T_{\theta} = 12 \times 10^{-6} \times 80 \times 10^9 \times \pi \times (0.1)^2 \times 30 \] \[ T_{\theta} \approx 904,779\, \text{Nm} \]

3. Moment de torsion total :

Le moment de torsion total est :

\[ T_{\text{total}} = T + T_{\theta} \] \[ T_{\text{total}} = 50,000\, \text{Nm} + 904,779\, \text{Nm} \] \[ T_{\text{total}} \approx 954,779\, \text{Nm} \]

4. Contrainte de torsion :

La contrainte de torsion est :

  • Moment quadratique pour une section circulaire pleine:

\[J = \frac{\pi r^4}{2} \] \[J = \frac{\pi \times (0.1)^4}{2} \] \[J= 0.00015707963267948968\, \text{m}^4 \]

La contrainte de torsion \(\tau\) est calculée avec la valeur de \(J\) :

\[ \tau = \frac{T_{\text{total}} \times r}{J} \] \[ \tau = \frac{954,779\, \text{Nm} \times 0.1\, \text{m}}{0.00015707963267948968\, \text{m}^4} \] \[ \tau \approx 607,831,989\, \text{N/m}^2 = 607.83\, \text{MPa} \]

Conclusion :

La contrainte de torsion calculée, après correction, est de \(607.83\, \text{MPa}\). Il est crucial de comparer cette valeur corrigée à la limite de résistance à la torsion de l’acier utilisé pour s’assurer de la sécurité du câble sous les conditions spécifiées.

D’autres exercices de Rdm :

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Cordialement, EGC – Génie Civil

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