Torsion dans une Poutre en T

Torsion dans une Poutre en T

Comprendre la Torsion dans une Poutre en T

Vous êtes un ingénieur en structure chargé de concevoir un élément de support en forme de T pour une installation industrielle.

Cette poutre en T sera soumise à un moment de torsion dû aux équipements qu’elle supportera.

Votre tâche est de calculer la contrainte de cisaillement maximale dans la poutre et de vérifier si elle est dans les limites admissibles pour le matériau choisi.

Données

  • Dimensions de la section en T:
    • Hauteur totale (h): 200 mm
    • Largeur de la bride (b): 150 mm
    • Épaisseur de la bride \((t_f)\): 10 mm
    • Épaisseur de l’âme \((t_w)\): 12 mm
  • Matériau: Acier avec une contrainte de cisaillement admissible de 120 MPa
  • Moment de torsion appliqué (T): 3000 Nm

Hypothèses

  • Le matériau est homogène et isotrope.
  • La torsion est pure, sans force axiale ni flexion.

Calculs à Effectuer

  1. Calcul du Module de Résistance en Torsion (J) de la section en T:
    • Utilisez la formule pour les sections non circulaires pour calculer J.
  2. Calcul de la Contrainte de Cisaillement Maximale \((τ_max)\):
    • Utilisez la formule de la contrainte de cisaillement en torsion: τ = T*r/J, où r est le rayon maximal de la section.
  3. Vérification de la Sécurité:
    • Comparez la contrainte de cisaillement maximale avec la contrainte admissible.

Correction : Torsion dans une Poutre en T

Données Fournies

  • Hauteur totale (h) = 200 mm
  • Largeur de la bride (b) = 150 mm
  • Épaisseur de la bride\( (t_f)\) = 10 mm
  • Épaisseur de l’âme \((t_w)\) = 12 mm
  • Contrainte de cisaillement admissible = 120 MPa
  • Moment de torsion appliqué (T) = 3000 Nm

1. Calcul du Module de Résistance en Torsion (J)

La formule approximative pour le module de résistance en torsion d’une section en T est:

\[ J \approx \frac{1}{3} b t_f^3 + \frac{1}{3} t_w (h – t_f)^3 \]

En substituant les valeurs, nous obtenons:

\[ J \approx \frac{1}{3} \times 150 \times 10^3 + \frac{1}{3} \times 12 \times (200 – 10)^3 \] \[ J \approx \frac{1}{3} \times 150 \times 1000 + \frac{1}{3} \times 12 \times 190^3 \] \[ J \approx 50000 + \frac{1}{3} \times 12 \times 6859000 \] \[J \approx 50000 + 27396000\] \[ J \approx 27446000 \text{ mm}^4 \]

2. Calcul de la Contrainte de Cisaillement Maximale (\(\tau_{\text{max}}\))

La formule pour la contrainte de cisaillement en torsion est:
\[
\tau = \frac{T \times r}{J}
\]
où \( r = \frac{h}{2} \) pour la section en T.

\[
r = \frac{200}{2} = 100 \text{ mm}
\]

En substituant les valeurs de T, r, et J, nous obtenons:
\[
\tau = \frac{3000 \times 10^3 \times 100}{27446000}
\]
\[
\tau = \frac{300000000}{27446000}
\]
\[
\tau \approx 10935 \text{ Pa} = 10.935 \text{ MPa}
\]

3. Vérification de la Sécurité

La contrainte de cisaillement maximale calculée est de 10.935 MPa, qui est nettement inférieure à la contrainte admissible de 120 MPa pour l’acier.

Ainsi, la poutre en T est suffisamment solide pour supporter le moment de torsion appliqué sans dépasser la limite de contrainte admissible pour l’acier.

Conclusion

La section en T spécifiée convient pour l’application donnée, car elle peut résister au moment de torsion appliqué sans que la contrainte de cisaillement dans la section dépasse la limite admissible pour le matériau.

Torsion dans une Poutre en T

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