Évaluation de la Capacité de Traction d’une Poutre

Comprendre l’Évaluation de la Capacité de Traction d’une Poutre

Un ingénieur en génie civil doit concevoir une poutre en acier pour supporter une charge uniformément répartie, incluant son propre poids, sur une portée libre.

La poutre est supposée être simplement appuyée aux deux extrémités et soumise à une charge de traction due au poids des équipements qui y seront accrochés.

Données fournies:

• Matériau: Acier, avec une limite élastique de 250 MPa et un module d’élasticité de 200 GPa.
• Dimensions de la poutre: Longueur = 12 m, section transversale rectangulaire avec une largeur de 200 mm et une hauteur de 300 mm.
• Charge uniformément répartie (incluant le poids propre): 5 kN/m.
• Charge concentrée due aux équipements: 10 kN, appliquée au centre de la poutre.

Questions à résoudre:

1. Calcul du poids propre de la poutre:
   • Utilisez la densité de l’acier (7850 kg/m³) pour calculer le poids propre de la poutre par mètre linéaire.
   • Déduisez ensuite la charge totale due au poids propre sur toute la longueur de la poutre.
2. Calcul de la force de traction totale:
   • Calculez la réaction aux appuis en considérant les charges uniformément réparties et la charge concentrée.
   • Déterminez la force de traction dans la poutre due aux réactions aux appuis.
3. Vérification de la contrainte de traction maximale:
   • Calculez la contrainte de traction maximale dans la poutre en utilisant la force de traction totale et la section transversale de la poutre.
   • Comparez cette contrainte avec la limite élastique de l’acier pour vérifier si la poutre est adéquatement dimensionnée.

Correction : Évaluation de la Capacité de Traction d’une Poutre

1. Calcul du poids propre de la poutre

Nous commençons par calculer l’aire de la section transversale de la poutre, puisque le volume par mètre utilisé pour calculer le poids doit prendre en compte l’épaisseur (1 mètre linéaire).

• Dimensions de la section transversale : Largeur \(b = 0.2 \, \text{m}\) (200 mm), Hauteur \(h = 0.3 \, \text{m}\) (300 mm).

Aire de la section transversale :

\[ A = b \times h \] \[ A = 0.2 \, \text{m} \times 0.3 \, \text{m} \] \[ A = 0.06 \, \text{m}^2 \]

Calcul du poids propre par mètre linéaire :

\[ \text{Poids par mètre} = A \times \rho \times g \] \[ = 0.06 \, \text{m}^2 \times 7850 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \] \[ = 4619.46 \, \text{N/m} \]

Converti en kN/m:

\[ \text{Poids par mètre} = \frac{4619.46 \, \text{N/m}}{1000} \] \[ \text{Poids par mètre} = 4.619 \, \text{kN/m} \]

2. Calcul des réactions aux appuis

Incluant le poids propre, la charge totale répartie sur la poutre est calculée, ainsi que les réactions aux appuis.

• Charge uniformément répartie ajustée (incluant le poids propre) :

\[ q_{\text{total}} = q + \text{Poids par mètre} \] \[ q_{\text{total}} = 5 \, \text{kN/m} + 4.619 \, \text{kN/m} \] \[ q_{\text{total}} = 9.619 \, \text{kN/m} \]

• Charge totale répartie sur la poutre :

\[ = q_{\text{total}} \times L \] \[ = 9.619 \, \text{kN/m} \times 12 \, \text{m} \] \[ = 115.428 \, \text{kN} \]

• Réactions aux appuis :

\[ R = \frac{q_{\text{total}} \times L + P}{2} \] \[ R = \frac{115.428 \, \text{kN} + 10 \, \text{kN}}{2} \] \[ R = 62.714 \, \text{kN} \]

3. Vérification de la contrainte de traction maximale

Le moment fléchissant maximal est calculé au centre de la poutre, ainsi que la contrainte résultante à la fibre la plus éloignée de l’axe neutre.

• Moment fléchissant maximal :

\[ M = R_{\text{total}} \times \frac{L}{2} – \frac{q_{\text{total}} \times L^2}{8} \] \[ M = 62.714 \times 6 – \frac{115.428 \times 12^2}{8} \] \[ M = 376.284 – 2072.452 \] \[ M = -1696.168 \, \text{kNm} \]

• Moment d’inertie de la section :

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \] \[ I = \frac{0.2 \times (0.3)^3}{12} \] \[ I = 0.00045 \, \text{m}^4 \]

• Contrainte maximale à la fibre la plus éloignée :

\[ \sigma = \frac{M \times y}{I} \] \[ \sigma = \frac{-1696.168 \times 10^3 \times 0.15}{0.00045} \] \[ \sigma = 5.653 \times 10^8 \, \text{Pa} \] \[ \sigma = 565.3 \, \text{MPa} \]

Conclusion :

La contrainte calculée de 565.3 MPa dépasse largement la limite élastique de l’acier, qui est de 250 MPa.

Cela indique que la poutre est sous-dimensionnée pour les charges appliquées. Un redimensionnement de la poutre ou le choix d’un matériau plus résistant serait nécessaire pour assurer la sécurité structurelle.

Évaluation de la Capacité de Traction d’une Poutre

D’autres exercices de Rdm :

• Calcul de la position de l’axe neutre
• Calcul des déformations dans une poutre
• Charges, contraintes et déformations