Calcul l’effort tranchant et le moment

Calcul l’effort tranchant et le moment

Comprendre le calcul l’effort tranchant et le moment :

Vous êtes ingénieur en structure et vous devez analyser une poutre simplement appuyée. Cette poutre supporte plusieurs charges réparties et concentrées.

Données

  • Longueur de la poutre, : 6 m
  • Une charge uniformément répartie de 3 kN/m sur toute la longueur de la poutre.
  • Une charge ponctuelle de 10 kN appliquée à 2 m du support gauche.
  • Une charge ponctuelle de 5 kN appliquée à 4 m du support gauche.
    calcul l'effort tranchant et le moment

    Questions

    1. Réaction aux Appuis : Calculez les réactions aux appuis de la poutre.
    2. Effort Tranchant :
      • Tracez le diagramme de l’effort tranchant pour la poutre.
      • Calculez l’effort tranchant à 1 m, 3 m et 5 m de l’extrémité gauche.
    3. Moment Fléchissant :
      • Tracez le diagramme du moment fléchissant pour la poutre.
      • Calculez le moment fléchissant à 1 m, 3 m et 5 m de l’extrémité gauche.
    4. Point de Moment Maximal : Déterminez la position et la valeur du moment maximal dans la poutre.

    Indications

    • Considérez la poutre comme étant en équilibre statique.
    • Utilisez les principes de la mécanique des milieux continus pour résoudre l’exercice.
    • N’oubliez pas que l’effort tranchant change aux points où il y a des charges appliquées.

    Correction : Calcul l’effort tranchant et moment

    1. Réaction aux Appuis

    Pour une poutre simplement appuyée, les réactions aux appuis sont calculées en utilisant l’équilibre statique.

    • Équilibre Vertical :

          \begin{equation*}\sum F_y = 0\end{equation*}

    • Équilibre de Moment :

          \begin{equation*}\sum M = 0\end{equation*}

    Soient R_A et R_B les réactions aux appuis gauche et droit, respectivement.

    • Charge totale due à la distribution uniforme :

          \begin{equation*}3 \, \text{kN/m} \times 6 \, \text{m} = 18 \, \text{kN}.\end{equation*}

    • La force résultante de la charge distribuée agit au centre de la poutre, soit à 3 m de chaque appui.
    • Application des équations d’équilibre :

          \begin{align*}R_A + R_B &= 18 \, \text{kN} + 10 \, \text{kN} + 5 \, \text{kN} \\R_A + R_B &= 33 \, \text{kN}\end{align*}

    Pour le moment (en prenant le moment autour de A) :

    R_B \times 6 \, \text{m} = 18 \, \text{kN} \times 3 \, \text{m} + 10 \, \text{kN} \times 2 \, \text{m} + 5 \, \text{kN} \times 4 \, \text{m}

        \begin{align*} R_B &= \frac{54 + 20 + 20}{6} \, \text{kN} \\R_B &= 15.67 \, \text{kN} \\R_A &= 33 - 15.67 = 17.33 \, \text{kN}\end{align*}

    2. Effort Tranchant V(x)

    • 0 – 2 m :

    V(x) commence à 17.33 kN à l’appui A.

    À 2 m, V(x) = 17.33 - 3 \times 2 = 11.33 \, \text{kN}.

    • À 2 m (charge ponctuelle) :

    V(x) chute de 10 kN à 1.33 \, \text{kN}.

    • 2 – 4 m :

    V(x) continue de diminuer en raison de la charge distribuée.

    Juste avant 4 m, V(x) = 1.33 - 3 \times 2 = -4.67 \, \text{kN}.

    • À 4 m (charge ponctuelle) :

    V(x) chute de 5 kN à -9.67 \, \text{kN}.

    • 4 – 6 m :

    À l’appui B, V(x) est de -15.67 kN, en accord avec R_B.

    3. Moment Fléchissant M(x)

    • 0 – 2 m :

    Le moment augmente linéairement puis de manière quadratique à cause de la charge distribuée.

    À 1 m : M(1) = 17.33 \times 1 - 3 \times \frac{1}{2} \times 1^2 = 15.83 \, \text{kNm}.

    • 2 – 4 m :

    Le moment continue d’augmenter, atteignant un maximum où V(x) = 0.

    Trouvons où V(x) = 0 entre 2 m et 4 m :

    Équation de l’effort tranchant dans cette section : V(x) = 1.33 - 3 \times (x - 2).
    Trouver x tel que V(x) = 0 :

        \begin{align*}0 &= 1.33 - 3 \times (x - 2) \\3x - 6 &= 1.33 \\x &\approx 2.44 \, \text{m}\end{align*}

    • Calcul du moment à x = 2.44 \, \text{m} :
      M(2.44) = 17.33 \times 2.44 - 3 \times \frac{2.44^2}{2} - 10 \times (2.44 - 2)
      M(2.44) &\approx 19.22 \, \text{kNm} \quad \text{(valeur approximative)}
    • 4 – 6 m :

    À 5 m : M(5) = 15.67 \times (6 - 5) - 3 \times \frac{1}{2} \times 1^2 = 14.17 \, \text{kNm}.

    4. Point de Moment Maximal

    Le moment maximal se produit à environ x = 2.44 \, \text{m} de l’appui gauche, avec une valeur d’environ 19.22 kNm.

    Diagramme de l’effort tranchant et du moment fléchissant

    diagramme de l'effort tranchant et du moment flechissant

    D’autres exercices de résistance des matériaux :

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