Calcul l’effort tranchant et le moment

Calcul l’effort tranchant et le moment

Comprendre le calcul l’effort tranchant et le moment :

Vous êtes ingénieur en structure et vous devez analyser une poutre simplement appuyée. Cette poutre supporte plusieurs charges réparties et concentrées.

Données

  • Longueur de la poutre, : 6 m
  • Une charge uniformément répartie de 3 kN/m sur toute la longueur de la poutre.
  • Une charge ponctuelle de 10 kN appliquée à 2 m du support gauche.
  • Une charge ponctuelle de 5 kN appliquée à 4 m du support gauche.
    calcul l’effort tranchant et le moment

    Questions

    1. Réaction aux Appuis : Calculez les réactions aux appuis de la poutre.
    2. Effort Tranchant :
      • Tracez le diagramme de l’effort tranchant pour la poutre.
      • Calculez l’effort tranchant à 1 m, 3 m et 5 m de l’extrémité gauche.
    3. Moment Fléchissant :
      • Tracez le diagramme du moment fléchissant pour la poutre.
      • Calculez le moment fléchissant à 1 m, 3 m et 5 m de l’extrémité gauche.
    4. Point de Moment Maximal : Déterminez la position et la valeur du moment maximal dans la poutre.

    Indications

    • Considérez la poutre comme étant en équilibre statique.
    • Utilisez les principes de la mécanique des milieux continus pour résoudre l’exercice.
    • N’oubliez pas que l’effort tranchant change aux points où il y a des charges appliquées.

    Correction : Calcul l’effort tranchant et moment

    1. Réaction aux Appuis

    Pour une poutre simplement appuyée, les réactions aux appuis sont calculées en utilisant l’équilibre statique.

    • Équilibre Vertical :
      \begin{equation*}
      \sum F_y = 0
      \end{equation*}
    • Équilibre de Moment :
      \begin{equation*}
      \sum M = 0
      \end{equation*}

    Soient \( R_A \) et \( R_B \) les réactions aux appuis gauche et droit, respectivement.

    • Charge totale due à la distribution uniforme :
      \begin{equation*}
      3 \, \text{kN/m} \times 6 \, \text{m} = 18 \, \text{kN}.
      \end{equation*}
    • La force résultante de la charge distribuée agit au centre de la poutre, soit à 3 m de chaque appui.
    • Application des équations d’équilibre :
      \begin{align*}
      R_A + R_B &= 18 \, \text{kN} + 10 \, \text{kN} + 5 \, \text{kN} \\
      R_A + R_B &= 33 \, \text{kN}
      \end{align*}

    Pour le moment (en prenant le moment autour de A) :

    \(R_B \times 6 \, \text{m} = 18 \, \text{kN} \times 3 \, \text{m} + 10 \, \text{kN} \times 2 \, \text{m} + 5 \, \text{kN} \times 4 \, \text{m}\)
    \begin{align*} R_B &= \frac{54 + 20 + 20}{6} \, \text{kN} \\
    R_B &= 15.67 \, \text{kN} \\
    R_A &= 33 – 15.67 = 17.33 \, \text{kN}
    \end{align*}

    2. Effort Tranchant \(V(x)\)

    • 0 – 2 m :

    \(V(x)\) commence à 17.33 kN à l’appui A.

    À 2 m, \(V(x) = 17.33 – 3 \times 2 = 11.33 \, \text{kN}\).

    • À 2 m (charge ponctuelle) :

    \(V(x)\) chute de 10 kN à \(1.33 \, \text{kN}\).

    • 2 – 4 m :

    \(V(x)\) continue de diminuer en raison de la charge distribuée.

    Juste avant 4 m, \(V(x) = 1.33 – 3 \times 2 = -4.67 \, \text{kN}\).

    • À 4 m (charge ponctuelle) :

    \(V(x)\) chute de 5 kN à \(-9.67 \, \text{kN}\).

    • 4 – 6 m :

    À l’appui B, \(V(x)\) est de -15.67 kN, en accord avec \(R_B\).

    3. Moment Fléchissant \(M(x)\)

    • 0 – 2 m :

    Le moment augmente linéairement puis de manière quadratique à cause de la charge distribuée.

    À 1 m :

    \(M(1) = 17.33 \times 1 – 3 \times \frac{1}{2} \times 1^2 = 15.83 \, \text{kNm}\).

    • 2 – 4 m :

    Le moment continue d’augmenter, atteignant un maximum où \(V(x) = 0\).

    Trouvons où \(V(x) = 0\) entre 2 m et 4 m :

    Équation de l’effort tranchant dans cette section : \(V(x) = 1.33 – 3 \times (x – 2)\).
    Trouver \(x\) tel que \(V(x) = 0\) :
    \begin{align*}
    0 &= 1.33 – 3 \times (x – 2) \\
    3x – 6 &= 1.33 \\
    x &\approx 2.44 \, \text{m}
    \end{align*}

    • Calcul du moment à \(x = 2.44 \, \text{m}\) :
      \( M(2.44) = 17.33 \times 2.44 – 3 \times \frac{2.44^2}{2} – 10 \times (2.44 – 2) \)
      \( M(2.44) \approx 19.22 \, \text{kNm} \quad \text{(valeur approximative)} \)
    • 4 – 6 m :

    À 5 m :

    \( M(5) = 15.67 \times (6 – 5) – 3 \times \frac{1}{2} \times 1^2 = 14.17 \, \text{kNm} \).

    4. Point de Moment Maximal

    Le moment maximal se produit à environ \( x = 2.44 \, \text{m} \) de l’appui gauche, avec une valeur d’environ 19.22 kNm.

    Diagramme de l’effort tranchant et du moment fléchissant

    calcul l’effort tranchant et le moment

    D’autres exercices de résistance des matériaux :

    Chers passionnés de génie civil,

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    Cordialement, EGC – Génie Civil

    3 Commentaires

    1. Aurélien B.

      Bonjour,
      Je suis en BUT GCCD 1ère année et j’ai du mal avec mes exercices de mécanique des structures, pour déterminer Vy ainsi que Mz à toute distance sur la poutre il nous est demandé de les déterminer en fonction de « x », je n’y arrive pas.
      On arrive en fin de semestre et je n’ai plus TD mais les partiels arrivent à grand pas, serait-il possible d’en discuter par mail ?

      Merci.
      Cordialement Aurélien B.

      Réponse

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