Vérification de la Rigidité d’une Poutre
Comprendre la Vérification de la Rigidité d’une Poutre
Une entreprise de construction doit installer une passerelle piétonne en acier dans un parc public.
La passerelle doit supporter non seulement le poids des piétons mais également celui des équipements d’entretien léger qui pourraient avoir à traverser.
La structure doit rester suffisamment rigide pour ne pas causer de sensation d’insécurité ou de malaise chez les utilisateurs.
Données:
- Matériau de la poutre: Acier, avec un module d’élasticité
- Longueur de la poutre (): 20 m
- Charge uniformément répartie (): 5 kN/m
- Section transversale de la poutre: Profilé en I, avec les dimensions suivantes:
- Hauteur (): 400 mm
- Largeur de l’âme (): 300 mm
- Épaisseur de l’âme (): 10 mm
- Épaisseur de la semelle (): 20 mm
- Critère de déformation admissible (): L/300
Objectif:
Vérifiez si la poutre est suffisamment rigide pour ne pas dépasser le critère de déformation admissible sous l’effet de la charge donnée.
Questions:
- Calculer le moment d’inertie (I) de la section transversale de la poutre.
- Déterminer la flèche maximale () que la poutre peut subir sous la charge uniformément répartie.
- Comparer la flèche maximale calculée avec le critère de déformation admissible. Conclure si la poutre est suffisamment rigide ou non.
Correction : Vérification de la Rigidité d’une Poutre
1. Calcul du moment d’inertie (I) de la section transversale de la poutre
Le moment d’inertie (I) d’une section en forme de I peut être approximé par la formule suivante pour une section symétrique:
\[ I = \frac{b h^3}{12} – \frac{(b-t) (h-2tf)^3}{12} \]
où :
- b = 300 mm est la largeur de l’âme,
- h = 400 mm est la hauteur totale de la section
- t = 10 mm est l’épaisseur de l’âme,
- tf = 20 mm est l’épaisseur de la semelle.
En substituant ces valeurs dans la formule, nous obtenons:
\[ I = \frac{300 \times 400^3}{12} – \frac{(300-10) \times (400-2 \times 20)^3}{12} \] \[ I = 472,480,000 \, \text{mm}^4 \]
2. Détermination de la flèche maximale (\(\delta_{\text{max}}\))
La flèche maximale sous une charge uniformément répartie pour une poutre simplement appuyée est donnée par la formule:
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5qL^4}{384EI} \]
où :
- q = 5 kN/m = 5000 N/mm est la charge uniformément répartie (convertie en N/mm pour la cohérence des unités),
- L = 20 m = 20,000 mm est la longueur de la poutre,
- \( E = 210 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2 \) est le module d’élasticité de l’acier,
- \( I = 472,480,000 \, \text{mm}^4 \) est le moment d’inertie calculé précédemment.
En substituant ces valeurs, nous calculons \(\delta_{\text{max}}\):
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times 5000 \times 20000^4}{384 \times 210 \times 10^3 \times 472,480,000} \] \[ \delta_{\text{max}} = 104.98 \, \text{mm} \]
3. Comparaison avec le critère de déformation admissible
Le critère de déformation admissible pour la poutre est de L/300, soit:
\[ \delta_{\text{admissible}} = \frac{20,000}{300} \] \[ \delta_{\text{admissible}} = 66.67 \, \text{mm} \]
En comparant la flèche maximale calculée (104.98 mm) au critère de déformation admissible (66.67 mm), nous constatons que la flèche excède le critère admissible.
Par conséquent, la poutre n’est pas suffisamment rigide selon les critères de déformation établis.
Conclusion:
La poutre en acier étudiée n’est pas suffisamment rigide pour supporter la charge uniformément répartie sans dépasser le critère de déformation admissible.
Cela signifie que sous la charge actuelle, la déformation de la poutre serait perceptible et potentiellement problématique pour l’utilisation prévue de la passerelle piétonne.
Il est donc recommandé d’examiner des alternatives pour améliorer la rigidité de la poutre, soit en augmentant les dimensions de la section transversale, soit en choisissant un matériau avec un module d’élasticité plus élevé, pour s’assurer que la structure répond aux exigences de sécurité et de confort des utilisateurs.
Vérification de la Rigidité d’une Poutre
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