Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles
Comprendre la Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles
Vous êtes ingénieur civil et vous devez analyser la résistance d’une barre en acier (matériau ductile) et d’une barre en céramique (matériau fragile) sous une charge axiale.
Les deux barres sont utilisées dans une construction et doivent supporter des charges sans subir de défaillance.
Votre tâche est de déterminer la charge maximale que chaque barre peut supporter et de comparer leur comportement sous charge.
Données fournies :
- Barre en acier (ductile) :
- Diamètre = 10 mm
- Longueur = 1 mètre
- Module de Young = 210 GPa
- Limite d’élasticité = 250 MPa
- Limite de rupture = 450 MPa
- Barre en céramique (fragile) :
- Diamètre = 10 mm
- Longueur = 1 mètre
- Module de Young = 380 GPa
- Limite de rupture = 150 MPa
Instructions de l’exercice :
1. Calcul de la surface de la section transversale pour chaque matériau.
2. Détermination de la charge maximale supportable en utilisant les propriétés mécaniques fournies, notamment la contrainte maximale avant la rupture.
3. Analyse de la déformation de chaque barre sous la charge maximale.
4. Discussion sur le comportement de chaque matériau sous charge et explication de pourquoi un matériau peut être préférable à l’autre dans certaines applications.
Correction : Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles
1. Calcul de la surface de la section transversale
Pour une barre avec un diamètre de 10 mm, la surface de la section transversale est calculée comme suit:
\[ A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \] \[ A = \pi \left(\frac{10 \, \text{mm}}{2}\right)^2 \] \[ A = \pi (5 \, \text{mm})^2 \] \[ A = 78.54 \, \text{mm}^2 \]
2. Détermination de la charge maximale supportable
- Barre en acier (ductile):
\[ P_{\text{max, acier}} = \sigma_{\text{rupture, acier}} \times A \] \[ P_{\text{max, acier}} = 450 \, \text{MPa} \times 78.54 \, \text{mm}^2 \] \[ P_{\text{max, acier}} = 35343 \, \text{N} \]
- Barre en céramique (fragile):
\[ P_{\text{max, céramique}} = \sigma_{\text{rupture, céramique}} \times A \] \[ P_{\text{max, céramique}} = 150 \, \text{MPa} \times 78.54 \, \text{mm}^2 \] \[ P_{\text{max, céramique}} = 11781 \, \text{N} \]
3. Analyse de la déformation sous la charge maximale
- Déformation de la barre en acier:
\[ \Delta L_{\text{acier}} = \frac{P_{\text{max, acier}} \times L}{A \times E_{\text{acier}}} \] \[ \Delta L_{\text{acier}} = \frac{35343 \, \text{N} \times 1000 \, \text{mm}}{78.54 \, \text{mm}^2 \times 210000 \, \text{MPa}} \] \[ \Delta L_{\text{acier}} = 2.17 \, \text{mm} \]
- Déformation de la barre en céramique:
\[ \Delta L_{\text{céramique}} = \frac{P_{\text{max, céramique}} \times L}{A \times E_{\text{céramique}}} \] \[ \Delta L_{\text{céramique}} = \frac{11781 \, \text{N} \times 1000 \, \text{mm}}{78.54 \, \text{mm}^2 \times 380000 \, \text{MPa}} \] \[ \Delta L_{\text{céramique}} = 0.40 \, \text{mm} \]
4. Discussion
- Comparaison des charges maximales :
La barre en acier peut supporter environ trois fois la charge maximale de la barre en céramique, illustrant la capacité supérieure des matériaux ductiles à supporter des charges élevées sans rupture.
- Comparaison des déformations :
La barre en acier se déforme plus (2.17 mm) comparée à la céramique (0.40 mm) sous leur charge maximale respective.
Cela montre que les matériaux ductiles, bien que plus résistants à la rupture, subissent des déformations plus importantes sous charge maximale, ce qui peut être critique dans certaines applications structurelles.
- Sélection des matériaux :
Le choix entre l’acier et la céramique dépendra des exigences spécifiques du projet. L’acier est préférable pour les applications nécessitant une haute résistance à la rupture et une capacité à subir de grandes déformations sans échec.
En revanche, la céramique est mieux adaptée pour les applications où les charges ne sont pas extrêmes, et où une déformation minimale est essentielle, comme dans certains composants de précision ou environnements corrosifs.
Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles
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