Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre

Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre

Comprendre la Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre

Vous êtes ingénieur dans une entreprise de construction et vous devez analyser l’intégrité structurelle d’une poutre utilisée dans la construction d’un pont. La poutre est faite en acier et est soumise à une charge uniformément répartie.

L’objectif est de déterminer le raccourcissement de cette poutre due à la charge appliquée pour s’assurer qu’elle reste dans les limites de sécurité.

Données:

  • Longueur de la poutre (L): 8 mètres
  • Module d’élasticité de l’acier (E): 210 GPa (Gigapascals)
  • Aire de la section transversale de la poutre (A): 0.03 m²
  • Charge totale uniformément répartie (F): 120 kN (kilonewtons)

Questions:

1. Calculer la contrainte (σ) dans la poutre due à la charge appliquée.

2. Calculer la déformation (ε) de la poutre.

3. Déterminer le raccourcissement total (ΔL) de la poutre.

Correction : Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre

1. Calcul de la contrainte \((\sigma)\) dans la poutre

La contrainte dans la poutre peut être calculée avec la formule :

\[ \sigma = \frac{F}{A} \]

Substitution des valeurs :

  • \( F = 120\, \text{kN} = 120000\, \text{N} \quad (\text{1 kN = 1000 N}) \)
  • \( A = 0.03\, \text{m}^2 \)

\[ \sigma = \frac{120000\, \text{N}}{0.03\, \text{m}^2} \] \[ \sigma = 4000000\, \text{Pa} \] \[ \sigma = 4000\, \text{kPa} \]

2. Calcul de la déformation \((\epsilon)\) de la poutre

En utilisant la loi de Hooke, la déformation est donnée par :

\[ \epsilon = \frac{\sigma}{E} \]

Substitution des valeurs :

  • \( \sigma = 4000000\, \text{Pa} \)
    \( E = 210\, \text{GPa} = 210 \times 10^9\, \text{Pa} \)

\[ \epsilon = \frac{4000000\, \text{Pa}}{210 \times 10^9\, \text{Pa}} \] \[ \epsilon = 1.90476 \times 10^{-5} \]

3. Détermination du raccourcissement total \((\Delta L)\) de la poutre

Le raccourcissement total est calculé en multipliant la déformation par la longueur initiale de la poutre :

\[ \Delta L = \epsilon \times L \]

Substitution des valeurs :

  • \( \epsilon = 1.90476 \times 10^{-5} \)
  • \( L = 8\, \text{m} \)

\[ \Delta L = 1.90476 \times 10^{-5} \times 8\, \text{m} \] \[ \Delta L = 0.000152381\, \text{m} \] \[ \Delta L \approx 0.152\, \text{mm} \]

Résumé des résultats :

  • La contrainte dans la poutre est de 4000 kPa.
  • La déformation de la poutre est de \(1.90476 \times 10^{-5}\) (sans unité, car c’est un rapport).
  • Le raccourcissement total de la poutre est d’environ 0.152 mm.

Ces calculs montrent que sous une charge de 120 kN répartie uniformément, une poutre en acier de 8 m de long et d’une section transversale de 0.03 m² se raccourcit de 0.152 mm, ce qui est un changement très petit, typique des matériaux comme l’acier qui sont à la fois forts et peu déformables sous charge normale.

Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre

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