Analyse de la Contrainte et Déformation

Analyse de la Contrainte et Déformation

Comprendre l’Analyse de la Contrainte et Déformation

Un nouveau pont piétonnier est en cours de conception dans une zone urbaine. La structure principale du pont comprend une série de poutres en acier disposées pour supporter la plateforme de marche.

Vous êtes chargé de vérifier la résistance et la déformation d’une de ces poutres sous charge uniformément répartie.

Données fournies:

  • Matériau de la poutre: Acier
  • Module d’élasticité de l’acier (E): 210 GPa (Gigapascals)
  • Moment d’inertie de la section (I): \(8,000 \, \text{cm}^4\)
  • Longueur de la poutre (L): 20 m (mètres)
  • Charge uniformément répartie (q): 5 kN/m (kilonewtons par mètre)

Questions:

1. Calcul du moment fléchissant maximal (M):

  • Le moment fléchissant maximal dans une poutre simplement appuyée sous une charge uniformément répartie

2. Calcul de la contrainte maximale dans la poutre (σ):

  • La contrainte maximale due au moment fléchissant, prendre cm pour cet exercice

3. Calcul de la flèche maximale (δ):

  • La déflexion maximale au milieu de la poutre sous charge uniformément répartie

Correction : Analyse de la Contrainte et Déformation

Données de l’exercice:

  • Module d’élasticité de l’acier, \(E = 210\) GPa = \(210 \times 10^3\) MPa
  • Moment d’inertie de la section, \(I = 8,000\) cm\(^4\) = \(8 \times 10^{-4}\) m\(^4\) (conversion de cm\(^4\) en m\(^4\))
  • Longueur de la poutre, \(L = 20\) m
  • Charge uniformément répartie, \(q = 5\) kN/m = \(5 \times 10^3\) N/m
  • Distance la plus éloignée de l’axe neutre, \(c = 15\) cm = \(0.15\) m

1. Calcul du moment fléchissant maximal \(M\)

La formule pour le moment fléchissant maximal est:

\[ M = \frac{q \times L^2}{8} \]

Substituons les valeurs:

\[ M = \frac{5 \times 10^3 \times (20)^2}{8} \] \[ M = \frac{5 \times 10^3 \times 400}{8} \] \[ M = 250,000 \, \text{N}\cdot\text{m} \]

2. Calcul de la contrainte maximale dans la poutre \(\sigma\)

La contrainte maximale est calculée par:

\[ \sigma = \frac{M \times c}{I} \]

Substituons les valeurs:

\[ \sigma = \frac{250,000 \times 0.15}{8 \times 10^{-4}} \] \[ \sigma = \frac{37,500}{8 \times 10^{-4}} \] \[ \sigma = 46.875 \, \text{MPa} \]

3. Calcul de la flèche maximale \(\delta\)

La formule de la flèche maximale est:

\[ \delta = \frac{5 \times q \times L^4}{384 \times E \times I} \]

Substituons les valeurs:

\[ \delta = \frac{5 \times 5 \times 10^3 \times (20)^4}{384 \times 210 \times 10^3 \times 8 \times 10^{-4}} \] \[ \delta = 6.2 \, \text{cm} \]

Conclusion

La poutre présente une contrainte de \(46.875\) MPa et une flèche de \(6.2\) cm. La contrainte admissible pour l’acier est typiquement supérieure à \(46.875\) MPa (souvent autour de \(250\) MPa), indiquant que la poutre est bien dans les limites de sécurité pour la contrainte.

La flèche de \(6.2\) cm est également acceptable pour la plupart des applications de pont piétonnier, assumant que la limite typique pour la flèche soit \(L/360\) pour un pont piétonnier (ce qui serait \(20,000/360 \approx 55.5\) cm).

Analyse de la Contrainte et Déformation

D’autres exercices de Rdm:

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