Calcul du Facteur de Sécurité

Calcul du Facteur de Sécurité d’une Poutre

Comprendre le calcul du facteur de sécurité d’une poutre

Vous êtes ingénieur en structure et devez vérifier la sécurité d’une poutre en acier dans une construction.

Le but de cet exercice est de déterminer le facteur de sécurité de cette poutre.

  • Données de l’Exercice

Matériau et Propriétés

  • Matériau de la poutre: Acier
  • Limite d’élasticité de l’acier: \(\sigma_y = 250 \, \text{MPa}\)

Charge et Dimensions

  • Charge appliquée sur la poutre: \(F = 15 \, \text{kN}\)
  • Longueur de la poutre: \(L = 4 \, \text{m}\)
  •  Section transversale de la poutre: Rectangle
    Largeur: \(b = 150 \, \text{mm}\)
    Hauteur: \(h = 300 \, \text{mm}\)

Hypothèses

  • La poutre est simplement appuyée aux deux extrémités.
  • La charge \(F\) est appliquée au centre de la poutre.
  • La poutre est homogène et isotrope.

Questions:

  1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (Mmax):Utilisez la théorie des poutres en flexion pour déterminer le moment fléchissant maximal dans la poutre.
  2. Calcul de la Contrainte Maximale (σmax):Calculez la contrainte maximale dans la poutre en utilisant la formule de flexion. La contrainte de flexion maximale se produit généralement au bord le plus éloigné de l’axe neutre.
  3. Calcul du Facteur de Sécurité (FS):

    Le facteur de sécurité est défini comme le rapport entre la contrainte admissible (limite d’élasticité) et la contrainte maximale réelle dans la poutre. Calculez ce facteur.

Correction : calcul du facteur de sécurité d’une poutre

1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (Mmax)

D’abord, convertissons les unités de force et de longueur en unités SI (Système International):

\begin{align*}
F &= 15 \, \text{kN} = 15 \times 10^3 \, \text{N} \\
L &= 4 \, \text{m}
\end{align*}

La formule pour le moment fléchissant maximal dans une poutre simplement appuyée avec une charge au centre est:

\begin{equation*}
M_{\text{max}} = \frac{F \times L}{4}
\end{equation*}

En remplaçant par les valeurs données:

\begin{equation*}
M_{\text{max}} = \frac{15 \times 10^3 \, \text{N} \times 4 \, \text{m}}{4} \end{equation*} \begin{equation*}
M_{\text{max}} = 15 \times 10^3 \times 1 \, \text{Nm} \end{equation*} \begin{equation*}
M_{\text{max}} = 15 \times 10^3 \, \text{Nm}
\end{equation*}

2. Calcul de la Contrainte Maximale (σmax)

D’abord, calculons le moment d’inertie \(I\) de la section transversale. Convertissons les dimensions en mètres :

\begin{align*}
b &= 150 \, \text{mm} = 0.15 \, \text{m} \\
h &= 300 \, \text{mm} = 0.3 \, \text{m}
\end{align*}

La formule du moment d’inertie pour une section rectangulaire est:

\begin{equation*}
I = \frac{b \times h^3}{12}
\end{equation*}

En remplaçant par les valeurs:

\begin{equation*}
I = \frac{0.15 \times (0.3)^3}{12} \end{equation*} \begin{equation*}
I  = \frac{0.15 \times 0.027}{12} \end{equation*} \begin{equation*}
I = 3.375 \times 10^{-4} \, \text{m}^4
\end{equation*}

Maintenant, calculons la contrainte maximale \(\sigma_{\text{max}}\) en utilisant la formule de flexion, où \(y = \frac{h}{2}\):

\begin{equation*}
\sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}} \times y}{I} \end{equation*} \begin{equation*}
\sigma_{\text{max}} = \frac{15 \times 10^3 \times 0.15}{3.375 \times 10^{-4}}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\sigma_{\text{max}} = \frac{2250}{3.375 \times 10^{-4}} \end{equation*} \begin{equation*}
\sigma_{\text{max}} = 6.666 \times 10^6 \, \text{Pa} \end{equation*} \begin{equation*}
\sigma_{\text{max}} = 6.666 \, \text{MPa}
\end{equation*}

3. Calcul du Facteur de Sécurité (FS)

La limite d’élasticité de l’acier est donnée comme \(\sigma_y = 250 \, \text{MPa}\).

Le facteur de sécurité est:

\begin{equation*}
FS = \frac{\sigma_y}{\sigma_{\text{max}}} \end{equation*} \begin{equation*}
FS = \frac{250}{6.666} \approx 37.5
\end{equation*}

Conclusion

Le facteur de sécurité calculé est de 37.5, ce qui est très élevé. Cela signifie que la poutre est largement dimensionnée pour supporter la charge appliquée.

En général, un facteur de sécurité supérieur à 1 indique que la structure est sûre. Cependant, un facteur de sécurité aussi élevé pourrait suggérer une surdimension de la poutre, ce qui pourrait être non économique.

Il est donc recommandé de reconsidérer la conception pour optimiser les matériaux et les coûts, tout en maintenant un niveau de sécurité adéquat.

Calcul du facteur de sécurité d’une poutre

D’autres exercices de Résistance des materiaux :

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