Charges, contraintes et déformations

Calculer les charges, contraintes, déformations

Comprendre les charges, contraintes et déformations

Imaginez une poutre en acier simplement appuyée aux deux extrémités. Cette poutre est soumise à une charge uniformément répartie (charge distribuée) ainsi qu’à une charge ponctuelle située au milieu de sa longueur.

Données

  • Longueur de la poutre, L: 6 mètres.
  • Module d’élasticité de l’acier, E: 200 GPa (GigaPascals).
  • Moment d’inertie de la section de la poutre, I: 4 \times 10^{-6} \, \text{m}^4.
  • Charge uniformément répartie, q: 5 kN/m (kiloNewtons par mètre).
  • Charge ponctuelle, P: 10 kN (kiloNewtons), appliquée au milieu de la poutre.
    charges, contraintes et déformations

    Questions:

    1. Calculer la réaction aux appuis.
    2. Déterminer la position et la valeur de la contrainte maximale dans la poutre.
    3. Calculer la déformation maximale de la poutre.

      Remarques

      • Considérez que la poutre est dans un régime élastique linéaire, c’est-à-dire que la loi de Hooke est applicable.
      • Les calculs doivent tenir compte des unités correctes et de leur conversion si nécessaire.

      Correction : les charges, contraintes et déformations

      1. Calcul des réactions aux appuis

      Équilibre vertical:

      La somme des forces verticales doit être égale à zéro. La poutre est soumise à une charge distribuée totale de q \times L = 5\, \text{kN/m} \times 6\, \text{m} = 30\, \text{kN}, et une charge ponctuelle P = 10\, \text{kN}. Soient R_A et R_B les réactions aux appuis A et B, respectivement.

          \begin{align*}R_A + R_B &= 30\, \text{kN} + 10\, \text{kN} \\R_A + R_B &= 40\, \text{kN}\end{align*}

      Équilibre des moments:

      Pour trouver R_A et R_B, prenons le moment autour de l’un des appuis (par exemple A). La charge distribuée crée un moment autour de A équivalent à celui d’une force unique de 30 kN agissant au centre de la poutre, c’est-à-dire à L/2 = 3\, \text{m} de A. La charge ponctuelle agit également à 3 m de A.

      3\, \text{m} \times 30\, \text{kN} + 3\, \text{m} \times 10\, \text{kN} - 6\, \text{m} \times R_B = 0
      90\, \text{kN}\cdot\text{m} + 30\, \text{kN}\cdot\text{m} - 6\, \text{m} \times R_B = 0
      120\, \text{kN}\cdot\text{m} = 6\, \text{m} \times R_B
      R_B = 20\, \text{kN}

      En utilisant l’équilibre vertical pour trouver R_A:

          \begin{align*}R_A + 20\, \text{kN} &= 40\, \text{kN} \\R_A &= 20\, \text{kN}\end{align*}

      2. Calcul de la contrainte maximale

      Moment fléchissant maximal:

      Le moment fléchissant maximal dans une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie et une charge ponctuelle se produit généralement sous la charge ponctuelle.

      M_{\text{max}} = R_A \times 3\, \text{m} - \frac{1}{2} \times q \times 3\, \text{m} \times 1.5\, \text{m}
      M_{\text{max}} = 20\, \text{kN} \times 3\, \text{m} - \frac{1}{2} \times 5\, \text{kN/m} \times 3\, \text{m} \times 1.5\, \text{m}
      M_{\text{max}} = 60\, \text{kN}\cdot\text{m} - 11.25\, \text{kN}\cdot\text{m}
      M_{\text{max}} &= 48.75\, \text{kN}\cdot\text{m}

      Contrainte maximale:

      Soit y la distance de l’axe neutre à la fibre la plus éloignée (la hauteur de la section de la poutre divisée par 2).

      Pour cet exercice, cette valeur n’est pas donnée et doit être définie ou laissée comme une variable.

          \[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}} \cdot y}{I} \]

          \[ \sigma_{\text{max}} = \frac{48.75 \times 10^3\, \text{N}\cdot\text{m} \cdot y}{4 \times 10^{-6}\, \text{m}^4} \]

          \[ \sigma_{\text{max}} = 12.1875 \times 10^9 \cdot y\, \text{Pa} \]

      3. Calcul de la déformation maximale

      La déformation totale due à la charge distribuée et la charge ponctuelle est la somme des deux déformations.

      Déformation due à la charge uniformément répartie} (\delta_q):

      \delta_q = \frac{5}{384} \times \frac{5 \times 10^3 \, \text{N/m} \times 6^4 \, \text{m}^4}{200 \times 10^9 \, \text{Pa} \times 4 \times 10^{-6} \, \text{m}^4}

          \[ = \frac{5}{384} \times \frac{5 \times 10^3 \times 1296}{800 \times 10^3} \]

          \[ = \frac{5}{384} \times \frac{6480000}{800000} \]

          \[ = \frac{5}{384} \times 8.1 \]

          \[ = \frac{40.5}{384} \]

          \[ \delta_q = 0.10547 \, \text{m} = 105.47 \, \text{mm} \]

      Déformation due à la charge ponctuelle (\delta_P):

      \delta_P = \frac{10 \times 10^3 \, \text{N} \times 6^3 \, \text{m}^3}{48 \times 200 \times 10^9 \, \text{Pa} \times 4 \times 10^{-6} \, \text{m}^4}

          \[ = \frac{2160000}{96000000} \]

          \[ = 0.0225 \, \text{m} = 22.5 \, \text{mm} \]

      Déformation totale (\delta_{\text{total}}):

          \[ \delta_{\text{total}} = \delta_q + \delta_P \]

          \[ = 105.47 \, \text{mm} + 22.5 \, \text{mm} \]

          \[ = 127.97 \, \text{mm} \]

      La déformation totale de la poutre sous l’effet combiné de la charge uniformément répartie et de la charge ponctuelle est donc d’environ 128 mm.

      Charges, contraintes et déformations

      D’autres exercices de Rdm :

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