Calcul des déformations dans une poutre

Calcul des déformations dans une poutre

Comprendre sur le calcul des déformations dans une  poutre

vous allez calculer les déformations dans une poutre en utilisant la théorie de la flexion des poutres.

On considère une poutre encastrée à une extrémité et libre à l’autre, soumise à une charge uniformément répartie.

Données:

  • Longueur de la poutre, L: 6 m
  • Charge uniformément répartie, q: 5 kN/m
  • Module d’élasticité du matériau de la poutre, E: 200 GPa
  • Moment d’inertie de la section de la poutre par rapport à l’axe neutre, I: 4 \times 10^{-6} m^4

Questions:

1. Calcul du Moment Fléchissant (M) en tout point de la poutre:

  • Utilisez la formule du moment fléchissant pour une poutre encastrée avec une charge uniformément répartie : M(x) = \frac{q}{2} x^2 - \frac{qL}{6}(3x - L), où x est la distance depuis l’extrémité encastrée.
  • Calculez le moment fléchissant à 2 m, 4 m, et à l’extrémité libre de la poutre.

2. Calcul de la Flèche (déformation verticale) en tout point de la poutre:

  • La flèche y(x) peut être calculée par la formule : y(x) = \frac{q}{24EI}x^2(6L^2 - 4Lx + x^2)
  • Calculez la flèche à 2 m, 4 m, et à l’extrémité libre de la poutre.

3. Discussion sur les Résultats:

  • Interprétez les résultats obtenus pour le moment fléchissant et la flèche en différents points de la poutre.
  • Quelle est la position sur la poutre où le moment fléchissant est maximal? Et où la flèche est-elle maximale?
  • Comment les propriétés du matériau (module d’élasticité) et les dimensions de la section (moment d’inertie) influencent-elles les déformations?

Correction : calcul des déformations dans une  poutre

1. Calcul du Moment Fléchissant (M)

La formule du moment fléchissant pour une poutre encastrée avec une charge uniformément répartie est :

    \[ M(x) = \frac{q}{2} x^2 - \frac{qL}{6}(3x - L) \]

q est la charge répartie, L est la longueur de la poutre, et x est la distance depuis l’extrémité encastrée.

À 2 m :

M(2) = \frac{5}{2} \times 2^2 - \frac{5 \times 6}{6}(3 \times 2 - 6)

    \[ M(2) = 10 - \frac{30}{6}(6 - 6) \]

    \[ M(2) = 10 \, \text{kN}\cdot\text{m} \]

À 4 m :

M(4) = \frac{5}{2} \times 4^2 - \frac{5 \times 6}{6}(3 \times 4 - 6)

    \[ M(4) = 20 - \frac{30}{6}(12 - 6) \]

    \[ M(4) = 20 - 30 = -10 \, \text{kN}\cdot\text{m} \]

À l’extrémité libre (6 m) :

M(6) = \frac{5}{2} \times 6^2 - \frac{5 \times 6}{6}(3 \times 6 - 6)

    \[ M(6) = 45 - 45 = 0 \, \text{kN}\cdot\text{m} \]

2. Calcul de la Flèche

La formule pour la flèche est :

y(x) = \frac{q}{24EI} x^2 \left(6L^2 - 4Lx + x^2\right)
E est le module d’élasticité et I est le moment d’inertie.

À 2 m :

y(2) = \frac{5}{24 \times 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}} \times 2^2 \left(6 \times 6^2 - 4 \times 6 \times 2 + 2^2\right)

= \frac{5}{19200} \times 4 \left(216 - 48 + 4\right)

= \frac{20}{19200} \times 172

= \frac{1}{960} \times 172

= 0.179 \, \text{m}

À 4 m :

y(4) = \frac{5}{19200} \times 16 \left(216 - 96 + 16\right)

= \frac{20}{19200} \times 136

= \frac{1}{960} \times 136

= 0.142 \, \text{m}

À l’extrémité libre (6 m) :

y(6) = \frac{5}{19200} \times 36 \left(216 - 144 + 36\right)

= \frac{20}{19200} \times 108

= \frac{1}{960} \times 108

= 0.112 \, \text{m}

3. Discussion sur les Résultats

  • Moment Fléchissant : Le moment fléchissant varie le long de la poutre, atteignant un maximum (en valeur absolue) à 4 m de l’extrémité encastrée.
  • Flèche : La déformation maximale (flèche) se produit à l’extrémité libre de la poutre (6 m).
  • Influence du Matériau et de la Section : Le module d’élasticité (E) et le moment d’inertie (I) jouent un rôle crucial. Plus E est élevé, moins la poutre se déforme. Un I plus grand indique une résistance accrue à la flexion, réduisant également la déformation.

Remarque : Ces calculs sont basés sur la théorie de la flexion élastique linéaire et supposent un comportement matériel linéairement élastique sans tenir compte des effets de flambement ou de défaillance du matériau.

Calcul des déformations dans une  poutre

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