Calcul des déformations dans une poutre
Comprendre sur le calcul des déformations dans une poutre
vous allez calculer les déformations dans une poutre en utilisant la théorie de la flexion des poutres.
On considère une poutre encastrée à une extrémité et libre à l’autre, soumise à une charge uniformément répartie.
Données:
- Longueur de la poutre, L: 6 m
- Charge uniformément répartie, q: 5 kN/m
- Module d’élasticité du matériau de la poutre, E: 200 GPa
- Moment d’inertie de la section de la poutre par rapport à l’axe neutre, I: \(4 \times 10^{-6}\) m\(^4\)
Questions:
1. Calcul du Moment Fléchissant (M) en tout point de la poutre:
- Utilisez la formule du moment fléchissant pour une poutre encastrée avec une charge uniformément répartie : \(M(x) = \frac{q}{2} x^2 – \frac{qL}{6}(3x – L)\), où \(x\) est la distance depuis l’extrémité encastrée.
- Calculez le moment fléchissant à 2 m, 4 m, et à l’extrémité libre de la poutre.
2. Calcul de la Flèche (déformation verticale) en tout point de la poutre:
- La flèche \(y(x)\) peut être calculée par la formule : \(y(x) = \frac{q}{24EI}x^2(6L^2 – 4Lx + x^2)\)
- Calculez la flèche à 2 m, 4 m, et à l’extrémité libre de la poutre.
3. Discussion sur les Résultats:
- Interprétez les résultats obtenus pour le moment fléchissant et la flèche en différents points de la poutre.
- Quelle est la position sur la poutre où le moment fléchissant est maximal? Et où la flèche est-elle maximale?
- Comment les propriétés du matériau (module d’élasticité) et les dimensions de la section (moment d’inertie) influencent-elles les déformations?
Correction : calcul des déformations dans une poutre
1. Calcul du Moment Fléchissant (\(M\)):
La formule du moment fléchissant pour une poutre encastrée soumise à une charge uniformément répartie est:
\[ M(x) = \frac{q}{2}x^2 – \frac{qL}{6}(3x – L) \]
- À 2 mètres:
\[ M(2) = \frac{5}{2} \times 2^2 – \frac{5 \times 6}{6}(3 \times 2 – 6) \] \[ M(2) = 10 – 0 \] \[ M(2) = 10\, \text{kN} \cdot \text{m} \]
- À 4 mètres:
\[ M(4) = \frac{5}{2} \times 4^2 – \frac{5 \times 6}{6}(3 \times 4 – 6) \] \[ M(4) = 40 – 30 = 10\, \text{kN} \cdot \text{m} \]
- À l’extrémité libre (6 mètres):
\[ M(6) = \frac{5}{2} \times 6^2 – \frac{5 \times 6}{6}(3 \times 6 – 6) \] \[ M(6) = 90 – 60 = 30\, \text{kN} \cdot \text{m} \]
2. Calcul de la Flèche (\(y\)):
La flèche \(y(x)\) est calculée par:
\[ y(x) = \frac{q x^2}{24EI}(6L^2 – 4Lx + x^2) \]
- À 2 mètres:
\[ y(2) = \frac{5 \times 2^2}{24 \times 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}(6 \times 6^2 – 4 \times 6 \times 2 + 2^2) \] \[ y(2) = 0.179\, \text{m} \]
À 4 mètres:
\[ y(4) = \frac{5 \times 4^2}{24 \times 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}(6 \times 6^2 – 4 \times 6 \times 4 + 4^2) \] \[ y(4) = 0.567\, \text{m} \]
- À l’extrémité libre (6 mètres):
\[ y(6) = \frac{5 \times 6^2}{24 \times 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}(6 \times 6^2 – 4 \times 6 \times 6 + 6^2) \] \[ y(6) = 1.0125\, \text{m} \]
3. Discussion sur les Résultats:
Moment Fléchissant:
Le moment fléchissant atteint son maximum à l’extrémité libre de la poutre (\(6\, \text{m}\)), avec une valeur de \(30\, \text{kN} \cdot \text{m}\).
Ce résultat est conforme à la théorie structurelle, où le moment fléchissant dans une poutre encastrée libre augmente avec la distance de l’extrémité encastrée jusqu’à atteindre un pic à l’extrémité libre.
Ce pic reflète le point de plus grande sollicitation dans la poutre, où les forces internes résistent à la flexion sous l’effet de la charge répartie.
Cela souligne l’importance de concevoir des sections de poutre capables de supporter ces moments maximaux, particulièrement dans des zones critiques pour la sécurité et la stabilité structurelle.
Flèche:
La flèche, ou déformation verticale, maximale est également observée à l’extrémité libre (\(6\, \text{m}\)), avec une valeur de \(1.0125\, \text{m}\).
Ce phénomène s’explique par la liberté de déplacement vertical de cette extrémité, non contrainte par des conditions d’encastrement ou des supports intermédiaires.
La flèche maximale représente la déformation la plus significative due à la flexion, indiquant la zone de plus grande déformation élastique sous l’action de la charge.
Cet indicateur est crucial dans la conception structurelle, car il aide à évaluer si les déformations restent dans les limites acceptables pour assurer le confort et la sécurité d’utilisation, ainsi que l’intégrité structurelle à long terme.
Influence du Matériau et de la Section:
Les propriétés du matériau, exprimées par le module d’élasticité (\(E\)), et la géométrie de la section transversale, caractérisée par le moment d’inertie (\(I\)), jouent un rôle déterminant dans la résistance de la poutre à la flexion.
Un module d’élasticité élevé indique un matériau plus rigide, qui se déforme moins sous une charge donnée. De même, un moment d’inertie élevé signifie que la section transversale de la poutre est optimisée pour offrir une meilleure résistance à la flexion.
Ensemble, ces facteurs influencent directement la capacité de la poutre à supporter des charges sans subir de déformations excessives, guidant ainsi les choix de matériaux et de conceptions de sections dans les projets d’ingénierie structurelle.
Calcul des déformations dans une poutre
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