Calcul de la déformation élastique

Calcul de la Déformation Élastique

Comprendre le calcul de la déformation élastique

Une barre cylindrique en acier, utilisée dans une construction, doit être évaluée pour sa déformation élastique sous une force spécifique.

Les caractéristiques de la barre sont les suivantes :

  • Longueur initiale de la barre (L₀) : 2 mètres
  • Diamètre de la barre (d) : 10 mm
  • Module d’élasticité de l’acier (E) : 200 GPa (GigaPascals)
  • Limite d’élasticité de l’acier : 250 MPa (MegaPascals)

Question :

  1. Calcul de la Contrainte et de la Déformation : Une force axiale de 10 000 N (newtons) est appliquée sur la barre. Calculez la contrainte (σ) induite dans la barre ainsi que la déformation élastique (ΔL) de la barre.
  2. Vérification de la Sécurité : Vérifiez si la contrainte induite dépasse la limite d’élasticité de l’acier. Qu’en concluez-vous sur la sécurité de la structure sous cette charge ?

Correction : Calcul de la déformation élastique

1. Calcul de la Contrainte et de la Déformation :

a) Calcul de l’aire de la section transversale de la barre :

Formule de l’aire d’une section transversale circulaire :

    \[ A = \pi \times r^2, \]

r est le rayon de la section transversale.

Ici, le diamètre d = 10 mm, donc le rayon

    \[ r = \frac{d}{2} = \frac{10 \text{ mm}}{2} = 5 \text{ mm} \]

    \[ r = 0.005 \text{ m} \]

(conversion en mètres pour la cohérence des unités).

Donc,

    \[ A = \pi \times (0.005 \text{ m})^2 \]

    \[ A  = 3.1416 \times 0.000025 \text{ m}^2 \]

    \[ A \approx 7.85 \times 10^{-5} \text{ m}^2. \]

b) Calcul de la contrainte :

Formule de la contrainte :

    \[ \sigma = \frac{F}{A}. \]

Ici, F = 10,000 N et A \approx 7.85 \times 10^{-5} \text{ m}^2.

Ainsi,

    \[ \sigma \approx \frac{10,000 \text{ N}}{7.85 \times 10^{-5} \text{ m}^2} \]

    \[ \sigma \approx 127,388 \text{ N/m}^2 \]

ou Pa, ce qui équivaut à \approx 127.39 MPa (conversion en MPa pour la cohérence des unités).

c) Calcul de la déformation élastique :

Formule de la déformation :

    \[ \Delta L = \frac{\sigma \times L_0}{E}. \]

Ici, \sigma \approx 127.39 MPa, L_0 = 2 m et E = 200 GPa.

Convertir \sigma en Pa pour la cohérence des unités :

    \[ \sigma \approx 127.39 \times 10^6 \]

Pa.

Ainsi,

    \[ \Delta L \approx \frac{127.39 \times 10^6 \text{ Pa} \times 2 \text{ m}}{200 \times 10^9 \text{ Pa}} \]

    \[ \Delta L = \frac{254.78 \times 10^6}{200 \times 10^9} \text{ m} \]

    \[ \Delta L \approx 1.274 \times 10^{-3} \text{ m}, \]

soit environ 1.274 mm.

2. Vérification de la Sécurité :

La contrainte induite est \approx 127.39 MPa, inférieure à la limite d’élasticité de l’acier qui est de 250 MPa.

Cela signifie que la barre se déforme élastiquement sous la charge appliquée et reviendra à sa forme originale une fois la charge retirée.

La contrainte n’atteignant pas la limite d’élasticité, il n’y a pas de déformation plastique et la barre est donc considérée comme sûre sous cette charge.

Conclusion :

Sous une force de 10 000 N, la barre en acier s’allongera de 1.274 mm. Cette déformation est dans la limite élastique de l’acier, ce qui indique que la barre ne subira pas de dommages permanents et est donc sûre sous cette charge spécifique.

Calcul de la déformation élastique

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