Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée

Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée

Comprendre la Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée

Une poutre, désignée par AD, est conçue en bois lamellé-collé. Elle présente une section rectangulaire qui repose sur la tranche.

Données géométriques :

  • La hauteur (h) de la section est cinq fois supérieure à sa largeur (b).

Objectif :

  1. Déterminer la hauteur minimale (h) nécessaire pour que la contrainte normale de flexion ne dépasse pas 13 MPa au niveau de la fibre tendue.
  2. Calculer la contrainte tangentielle maximale que la poutre peut subir, en se basant sur la hauteur (h) obtenue précédemment.

Données supplémentaires pour l’application numérique :

  • Force appliquée en point B (P) : 620 daN
  • Distance entre les appuis (ℓ) : 2223 mm
  • Module de Young du bois utilisé : 11500 MPa
Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée

Correction :Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée

1. Détermination de la hauteur minimale (h)

  • Contrainte de flexion permise : \( \sigma = 13 \) MPa

Formule :

La contrainte de flexion \( \sigma \) est déterminée par

\[ \sigma = \frac{M \cdot y}{I} \]

  • M est le moment fléchissant, y la distance de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre (ici \( \frac{h}{2} \)),
  • I le moment d’inertie de la section (pour une section rectangulaire) :

\[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

Calculs :

Le moment fléchissant maximal en B, dû à la force P appliquée, est :

\[ M = P \cdot \frac{\ell}{2} \] \[ M = 620 \cdot 10 \cdot \frac{2.223}{2} \] \[ M = 68943 \, \text{N} \cdot \text{m} \]

En remplaçant dans la formule de la contrainte de flexion et en résolvant pour h, on obtient :

\[ h^3 = \frac{6 \cdot M}{\sigma \cdot 5} \] \[ h = \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 68943}{13 \cdot 10^6 \cdot 5}} \] \[ h \approx 0.086 \, \text{m} \]

Donc la hauteur minimale h est d’environ 86 mm.

2. Calcul de la contrainte tangentielle maximale ( \( \tau_{\text{max}} \) )

Formule :

La contrainte tangentielle \( \tau_{\text{max}} \) est déterminée par

\[ \tau_{\text{max}} = \frac{1.5 \cdot V}{b \cdot h} \]

avec V la force de cisaillement, égale à P ici.

Calculs :

La largeur \( b \) est \[ \frac{h}{5} = \frac{0.086}{5} \] et la force de cisaillement V est égale à la force appliquée P.

En remplaçant ces valeurs dans la formule de \( \tau_{\text{max}} \), nous obtenons :

\[ \tau_{\text{max}} = \frac{1.5 \cdot P}{b \cdot h} \] \[ \tau_{\text{max}} = \frac{1.5 \cdot 620 \cdot 10}{\frac{0.086}{5} \cdot 0.086} \] \[ \tau_{\text{max}} \approx 6.29 \, \text{MPa} \]

Conclusion :

La hauteur minimale requise pour la poutre est de 86 mm pour restreindre la contrainte de flexion à 13 MPa.

Avec cette dimension, la contrainte tangentielle maximale subie par la poutre est d’environ 6.29 MPa.

Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée

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