Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
Comprendre la Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
Une poutre, désignée par AD, est conçue en bois lamellé-collé. Elle présente une section rectangulaire qui repose sur la tranche.
Données géométriques :
- La hauteur (h) de la section est cinq fois supérieure à sa largeur (b).
Objectif :
- Déterminer la hauteur minimale (h) nécessaire pour que la contrainte normale de flexion ne dépasse pas 13 MPa au niveau de la fibre tendue.
- Calculer la contrainte tangentielle maximale que la poutre peut subir, en se basant sur la hauteur (h) obtenue précédemment.
Données supplémentaires pour l’application numérique :
- Force appliquée en point B (P) : 620 daN
- Distance entre les appuis (ℓ) : 2223 mm
- Module de Young du bois utilisé : 11500 MPa
Correction :Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
1. Détermination de la hauteur minimale (h)
- Contrainte de flexion permise : \( \sigma = 13 \) MPa
Formule :
La contrainte de flexion \( \sigma \) est déterminée par
\[ \sigma = \frac{M \cdot y}{I} \]
où
- M est le moment fléchissant, y la distance de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre (ici \( \frac{h}{2} \)),
- I le moment d’inertie de la section (pour une section rectangulaire) :
\[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
Calculs :
Le moment fléchissant maximal en B, dû à la force P appliquée, est :
\[ M = P \cdot \frac{\ell}{2} \] \[ M = 620 \cdot 10 \cdot \frac{2.223}{2} \] \[ M = 68943 \, \text{N} \cdot \text{m} \]
En remplaçant dans la formule de la contrainte de flexion et en résolvant pour h, on obtient :
\[ h^3 = \frac{6 \cdot M}{\sigma \cdot 5} \] \[ h = \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 68943}{13 \cdot 10^6 \cdot 5}} \] \[ h \approx 0.086 \, \text{m} \]
Donc la hauteur minimale h est d’environ 86 mm.
2. Calcul de la contrainte tangentielle maximale ( \( \tau_{\text{max}} \) )
Formule :
La contrainte tangentielle \( \tau_{\text{max}} \) est déterminée par
\[ \tau_{\text{max}} = \frac{1.5 \cdot V}{b \cdot h} \]
avec V la force de cisaillement, égale à P ici.
Calculs :
La largeur \( b \) est \[ \frac{h}{5} = \frac{0.086}{5} \] et la force de cisaillement V est égale à la force appliquée P.
En remplaçant ces valeurs dans la formule de \( \tau_{\text{max}} \), nous obtenons :
\[ \tau_{\text{max}} = \frac{1.5 \cdot P}{b \cdot h} \] \[ \tau_{\text{max}} = \frac{1.5 \cdot 620 \cdot 10}{\frac{0.086}{5} \cdot 0.086} \] \[ \tau_{\text{max}} \approx 6.29 \, \text{MPa} \]
Conclusion :
La hauteur minimale requise pour la poutre est de 86 mm pour restreindre la contrainte de flexion à 13 MPa.
Avec cette dimension, la contrainte tangentielle maximale subie par la poutre est d’environ 6.29 MPa.
Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
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