Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment
Comprendre les Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment fléchissant
Vous êtes ingénieur en charge de la conception d’une passerelle piétonne devant enjamber une petite rivière dans un parc urbain.
La passerelle est envisagée comme une poutre simplement appuyée aux deux extrémités, avec une charge répartie due aux piétons et une charge concentrée au milieu représentant un banc de parc fixé à la passerelle.
Données
- Longueur de la passerelle (L) = 10 m
- Charge uniformément répartie (w) due au poids des piétons = 4 kN/m
- Charge concentrée (P) au milieu de la passerelle due au banc = 10 kN
- Les appuis sont considérés comme des appuis simples (articulation à une extrémité et rouleau à l’autre).
Questions:
- Déterminer les réactions aux appuis : Calculer les forces de réaction aux appuis A et B.
- Tracer le diagramme d’effort tranchant (DET) : En utilisant les réactions calculées, tracer le DET pour la passerelle.
- Tracer le diagramme de moment fléchissant (DMF) : Basé sur le DET, tracer le DMF pour la passerelle.
Correction : Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment fléchissant
1 .Calcul des Réactions aux Appuis
Les réactions aux appuis sont déterminées en utilisant les conditions d’équilibre pour la poutre.
Les conditions d’équilibre sont :
- \(\Sigma F_y = 0\): La somme des forces verticales doit être nulle.
- \(\Sigma M = 0\): La somme des moments autour de n’importe quel point doit être nulle.
Calculs:
- La charge totale due à la distribution uniforme est :
\[ = w \times L \] \[ = 4\, \text{kN/m} \times 10\, \text{m} = 40\, \text{kN} \]
- Le poids total agissant sur la poutre est donc :
\[ = 40\, \text{kN} + 10\, \text{kN} = 50\, \text{kN} \]
Réactions aux appuis:
Pour une poutre simplement appuyée, avec une charge uniformément répartie et une charge concentrée au centre, les réactions aux appuis (A et B) sont égales et peuvent être calculées comme suit :
\[ A = B = \frac{\text{Total Charge}}{2} \] \[ = \frac{50\, \text{kN}}{2} = 25\, \text{kN} \]
2. Diagramme d’Effort Tranchant (DET)
Le DET montre comment l’effort tranchant varie le long de la poutre. Pour une charge répartie, l’effort tranchant varie linéairement, et pour une charge concentrée, il y a un changement brusque.
Tracé du DET:
- Entre l’appui A et le point de la charge concentrée, l’effort tranchant diminue linéairement à cause de la charge répartie.
À l’appui A, \[ V = +25\, \text{kN} \]
- À la position de la charge concentrée, il y a une chute de \(10\, \text{kN}\) due à la charge concentrée.
- Entre la charge concentrée et l’appui B, l’effort tranchant continue de diminuer linéairement jusqu’à l’appui B où
\[ V = -25\, \text{kN} \]
3. Diagramme de Moment Fléchissant (DMF)
Le DMF montre la variation du moment fléchissant le long de la poutre. Le moment fléchissant est maximal où l’effort tranchant traverse zéro.
Calcul du moment maximal:
- Le moment maximal se produit au milieu de la poutre sous la charge concentrée.
- \[ M_{\text{max}} = \frac{wL^2}{8} + \frac{PL}{4} \], où \(P\) est la charge concentrée placée au centre de la poutre.
\[ M_{\text{max}} = \frac{4\, \text{kN/m} \times (10\, \text{m})^2}{8} + \frac{10\, \text{kN} \times 10\, \text{m}}{4} \] \[ M_{\text{max}} = 50\, \text{kN} \cdot \text{m} + 25\, \text{kN} \cdot \text{m} \] \[ M_{\text{max}}= 75\, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Tracé du DMF:
- Le moment fléchissant augmente paraboliquement de l’appui A jusqu’au centre, atteint \( M_{\text{max}} = 75\, \text{kN} \cdot \text{m} \), puis diminue paraboliquement jusqu’à l’appui B.
Diagrammes d’Effort Tranchant et Moment fléchissant
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merci beaucoup, c’est une bonne expérience à suivre mme
J’ai aimé c’est super ça