Poutre encastrée et Diagramme des Moments

Poutre encastrée

Comprendre le calcul d’une poutre encastrée :

Une poutre encastrée en A supporte une charge uniformément répartie (UDL) sur toute sa longueur et une charge ponctuelle à son extrémité libre B.

Données

  • Longueur de la poutre, L = 6 mètres.
  • Charge uniformément répartie (UDL), w = 5 kN/m.
  • Charge ponctuelle en B, P = 10 kN.
  • Module d’élasticité du matériau de la poutre, E = 200 GPa.
  • Moment d’inertie de la section de la poutre, I = 4 x 10ˉ⁴ m⁴
    poutre encastrée

    Questions

    1. Calcul des Réactions d’Appui en A:
      • Déterminer les réactions de la poutre en A (force verticale et moment).
    2. Diagramme des Moments Fléchissants:
      • Dessiner le diagramme des moments fléchissants (M) pour la poutre. Identifier le moment maximal et son emplacement.
    3. Diagramme des Forces de Cisaillement:
      • Établir le diagramme des forces de cisaillement (V) pour la poutre.
    4. Déflexion Maximale:
      • Calculer la déflexion maximale de la poutre. Utiliser la formule de la déflexion pour une poutre encastrée avec une charge uniformément répartie et une charge ponctuelle.
    5. Analyse de la Sécurité:
      • Estimer si la poutre est en sécurité contre la rupture, en considérant un moment de résistance maximal de la section de 120 kNm.

    Correction : poutre encastrée

    1. Calcul des Réactions d’Appui en A

    Forces et Moments

    • Charge Uniformément Répartie (UDL):

        \[ w = 5 \, \text{kN/m} \]

    • Force totale due à UDL:

        \[ = w \times L \]

        \[ = 5 \times 6 = 30 \, \text{kN} \]

    • Point d’application de la force UDL:

        \[ = \frac{L}{2} = 3 \, \text{m} \]

    • Charge Ponctuelle en B:

        \[ P = 10 \, \text{kN} \]

    • Point d’application:

        \[ \text{En B (à } L = 6 \, \text{m de A)} \]

    Équilibre Statique

    Somme des Forces Verticales:

        \[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_A - 30 - 10 = 0 \]

        \[ \therefore R_A = 40 \, \text{kN} \, \text{(vers le haut)} \]

    Somme des Moments autour de A:

    \sum M_A = 0 \Rightarrow -30 \times 3 - 10 \times 6 + M_A = 0

        \[ M_A = 90 + 60 = 150 \, \text{kNm} \]

    (moment encastré en A, sens anti-horaire)

    2. Diagramme des Moments Fléchissants

    • Le moment fléchissant varie le long de la poutre.
      À l’extrémité encastrée (A), le moment est M_A = 150 \, \text{kNm}.
    • À l’extrémité libre (B), le moment est nul.
    • Le moment maximal se produit à l’encastrement, donc M_{\text{max}} = 150 \, \text{kNm}.

    3. Diagramme des Forces de Cisaillement

    • La force de cisaillement commence à 40 \, \text{kN} en A (vers le haut).
    • Elle diminue linéairement à cause de l’UDL et devient 40 - 5 \times 6 = 10 \, \text{kN} juste avant le point B.
    • En B, elle chute à 0 \, \text{kN} à cause de la charge ponctuelle.

    4. Déflexion Maximale

    Pour UDL (Charge Uniformément Répartie)

    • Formule de déflexion pour UDL:

        \[ \delta_{\text{UDL}} = \frac{wL^4}{8EI} \]

    w = 5 \, \text{kN/m}, L = 6 \, \text{m}, E = 200 \, \text{GPa} (ou 200 \times 10^9 \, \text{Pa}), et I = 4 \times 10^{-4} \, \text{m}^4.

    • Calcul:

        \[ = \frac{5 \times 6^4}{8 \times 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-4}} \]

        \[ = \frac{5 \times 1296}{8 \times 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-4}} \]

        \[ = \frac{6480}{6.4 \times 10^5} \]

        \[ \delta_{\text{UDL}} \approx 0.010125 \, \text{m} \]

        \[ \delta_{\text{UDL}} = 10.125 \, \text{mm} \]

    Pour Charge Ponctuelle

    • Formule de déflexion pour charge ponctuelle:

        \[ \delta_{\text{P}} = \frac{PL^3}{3EI} \]

    P = 10 \, \text{kN}.

    • Calcul:

        \[ \delta_{\text{P}} = \frac{10 \times 10^3 \times 6^3}{3 \times 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-4}} \]

        \[ \delta_{\text{P}} = \frac{10 \times 10^3 \times 216}{600 \times 10^5} \]

        \[ \delta_{\text{P}} = \frac{2160000}{600 \times 10^5} \]

        \[ \delta_{\text{P}} \approx 0.0036 \, \text{m} \]

    ou 3.6 \, \text{mm}.

    Déflexion Totale au Point B

    La déflexion totale est la somme de la déflexion due à l’UDL et celle due à la charge ponctuelle.

        \[ \delta_{\text{total}} = \delta_{\text{UDL}} + \delta_{\text{P}} \]

        \[ \delta_{\text{total}} \approx 10.125 \, \text{mm} + 3.6 \, \text{mm} \]

        \[ \delta_{\text{total}} \approx 13.725 \, \text{mm} \]

    Donc, la déflexion maximale au point B est d’environ 13.725 \, \text{mm}.

    5. Analyse de la Sécurité

    Le moment fléchissant maximal est M_{\text{max}} = 150\, \text{kNm}. Le moment de résistance maximal de la section est M_{\text{res}} = 120\, \text{kNm}.

    Puisque M_{\text{max}} > M_{\text{res}} (150 kNm > 120 kNm), la poutre n’est pas en sécurité et risque de rompre.

    Remarques

    Ces calculs sont simplifiés et ne prennent pas en compte certains facteurs réels comme les effets de second ordre, les contraintes de cisaillement, ou la redistribution des moments.

    L’analyse de la sécurité est très basique ici ; dans la pratique, d’autres facteurs tels que les facteurs de sécurité, les charges dynamiques, et les propriétés matérielles spécifiques doivent être pris en compte.

    Poutre encastrée

    Diagramme des Forces de Cisaillement

    poutre encastrée

    Poutre encastrée

    D’autres exercices de résistance des materiaux : 

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