Calcul de l’Énergie de Déformation

Calcul de l’Énergie de Déformation

Comprendre le Calcul de l’Énergie de Déformation

Un ingénieur est chargé de concevoir un support en acier pour une machine dans une usine. Le support est modélisé comme une poutre encastrée-libre (c’est-à-dire fixée à une extrémité et libre à l’autre) soumise à une charge concentrée à son extrémité libre.

L’ingénieur doit s’assurer que l’énergie de déformation stockée dans la poutre sous la charge ne dépasse pas une certaine valeur pour garantir la sécurité et la durabilité du support.

Données

  • Longueur de la poutre, \( L \): 2 mètres
  • Charge concentrée à l’extrémité libre, \( P \): 500 N
  • Module d’élasticité de l’acier, \( E \): 210 GPa (GigaPascals)
  • Moment d’inertie de la section transversale de la poutre, \( I \): \( 4 \times 10^{-6} \, m^4 \) (considérez une section transversale carrée pour la simplicité du calcul)

Questions

1. Calculez le moment fléchissant (\( M \)) dans la poutre en fonction de la position \( x \) le long de la poutre.
2. Utilisez le moment fléchissant pour déterminer l’énergie de déformation (\( U \)) de la poutre due à la flexion.
3. Vérifiez si l’énergie de déformation dépasse la valeur limite pour la sécurité, considérons pour cet exercice une valeur limite de 10 Joules.

Correction : Calcul de l’Énergie de Déformation

1. Calcul du Moment Fléchissant (\(M\))

Le moment fléchissant en un point situé à une distance \(x\) de l’extrémité encastrée est donné par la relation:

\[ M(x) = -Px \]

  • À l’extrémité encastrée (\(x=0\)):

\[ M(0) = -500 \times 0 = 0 \, N\cdot m \]

Cette valeur indique simplement que le moment fléchissant commence à zéro à l’extrémité libre.

  • À l’extrémité libre (\(x=L=2m\)):

\[ M(2m) = -500 \times 2 = -1000 \, N\cdot m \]

Cependant, il est important de noter que le moment maximal se produit en réalité à l’extrémité encastrée pour une poutre encastrée-libre sous une charge concentrée à l’extrémité libre.

2. Calcul de l’Énergie de Déformation (\(U\))

L’énergie de déformation due à la flexion est donnée par:

\[ U = \frac{1}{2EI} \int_{0}^{L} M(x)^2 \, dx \]

En substituant \(M(x) = -Px\) et les valeurs données, on obtient:

\[ U = \frac{1}{2 \times 210 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}} \int_{0}^{2} (-500x)^2 \, dx \]

Calcul de l’intégrale:

\[ U = \frac{1}{1680} \int_{0}^{2} 250000x^2 \, dx \] \[ U = \frac{250000}{1680} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 \] \[ U = \frac{250000}{1680} \times \frac{8}{3} \] \[ U = \frac{250000 \times 8}{1680 \times 3} \] \[ U \approx 0.397 \, Joules \]

3. Comparaison avec la Valeur Limite

La valeur calculée de l’énergie de déformation est d’environ \(0.397\) Joules, ce qui est bien en dessous de la valeur limite de sécurité de \(10\) Joules.

Conclusion:

La conception actuelle de la poutre est sûre en termes d’énergie de déformation sous la charge appliquée, puisque \(0.397\) Joules est largement inférieur à la limite de sécurité de \(10\) Joules.

Calcul de l’Énergie de Déformation

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