Calcul de l’Énergie de Déformation

Calcul de l’Énergie de Déformation

Comprendre le Calcul de l’Énergie de Déformation

Un ingénieur est chargé de concevoir un support en acier pour une machine dans une usine. Le support est modélisé comme une poutre encastrée-libre (c’est-à-dire fixée à une extrémité et libre à l’autre) soumise à une charge concentrée à son extrémité libre.

L’ingénieur doit s’assurer que l’énergie de déformation stockée dans la poutre sous la charge ne dépasse pas une certaine valeur pour garantir la sécurité et la durabilité du support.

Données

  • Longueur de la poutre, L: 2 mètres
  • Charge concentrée à l’extrémité libre, P: 500 N
  • Module d’élasticité de l’acier, E: 210 GPa (GigaPascals)
  • Moment d’inertie de la section transversale de la poutre, I: 4 \times 10^{-6} \, m^4 (considérez une section transversale carrée pour la simplicité du calcul)

Questions

1. Calculez le moment fléchissant (M) dans la poutre en fonction de la position x le long de la poutre.
2. Utilisez le moment fléchissant pour déterminer l’énergie de déformation (U) de la poutre due à la flexion.
3. Vérifiez si l’énergie de déformation dépasse la valeur limite pour la sécurité, considérons pour cet exercice une valeur limite de 10 Joules.

Correction : Calcul de l’Énergie de Déformation

1. Calcul du Moment Fléchissant

Le moment fléchissant en un point situé à une distance x de l’extrémité encastrée est donné par:

    \[ M(x) = -Px \]

Pour x variant de 0 à L (2 mètres), le moment fléchissant varie le long de la poutre. À l’extrémité encastrée (x=0), le moment est nul, et à l’extrémité libre (x=2 m), le moment est maximal, égal à:

    \[ M(2\,m) = -500 \times 2 \]

    \[ M(2\,m) = -1000 \, \text{N} \cdot \text{m} \]

2. Calcul de l’Énergie de Déformation

L’énergie de déformation due à la flexion est donnée par:

    \[ U = \frac{1}{2EI} \int_0^L M(x)^2 \, dx \]

En substituant M(x) et les valeurs données, on obtient:

U = \frac{1}{2 \times 210 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}} \int_0^{2} (-500x)^2 \, dx

    \[ U = \frac{1}{1680} \int_0^{2} 250000x^2 \, dx \]

Effectuons l’intégration :

    \[ U = \frac{250000}{1680} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{2} \]


    \[ U = \frac{250000}{1680} \left( \frac{8}{3} \right) \]


    \[ U = \frac{250000 \times 8}{1680 \times 3} \]


    \[ U \approx 395 \, \text{Joules} \]

3. Comparaison avec la Valeur Limite

La valeur calculée de l’énergie de déformation est d’environ 395 Joules, ce qui est bien au-delà de la valeur limite de sécurité de 10 Joules.

Conclusion

La conception actuelle de la poutre n’est pas sûre puisque l’énergie de déformation dépasse largement la valeur limite.

L’ingénieur devra revoir la conception, soit en choisissant un matériau avec un module d’élasticité plus élevé, soit en augmentant le moment d’inertie de la section transversale, ou en envisageant une configuration structurale différente pour réduire l’énergie de déformation à un niveau acceptable.

Calcul de l’Énergie de Déformation

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