Critère de Rupture de Von Mises
Comprendre le critère de Rupture de Von Mises
Vous êtes ingénieur en génie civil et travaillez sur la conception d’une poutre en acier qui fera partie d’une structure de pont.
Cette poutre sera soumise à divers types de charges et contraintes en service. Pour garantir la sécurité et la durabilité de la structure, vous devez vérifier que la poutre respecte le critère de rupture de Von Mises.
Pour comprendre le Calcul des déformations dans une poutre, cliquez sur le lien.
Données :
- Matériau de la poutre: Acier avec une limite d’élasticité de 250 MPa.
- La poutre est soumise à un état de contrainte triaxial avec les contraintes principales suivantes :
- σ1 = 60 MPa (tension)
- σ2 = -30 MPa (compression)
- σ3 = 40 MPa (tension)
- La poutre subit également une contrainte de cisaillement τxy = 20 MPa.
Question :
- Calculez la contrainte équivalente de Von Mises pour la poutre.
- Déterminez si la poutre répond aux critères de sécurité selon le critère de rupture de Von Mises.
- Commentez sur la marge de sécurité de la conception.
Correction : critère de Rupture de Von Mises
1. Calcul de la Contrainte de Von Mises
La contrainte de Von Mises (\(\sigma_{\text{vM}}\)) est calculée en utilisant l’expression:
\( \sigma_{\text{vM}} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 – \sigma_2)^2 + (\sigma_2 – \sigma_3)^2 + (\sigma_1 – \sigma_3)^2 \right] + 3\tau_{xy}^2 } \)
En insérant les valeurs données :
\( \sigma_{\text{vM}} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (60 – (-30))^2 + ((-30) – 40)^2 + (60 – 40)^2 \right] + 3(20)^2 } \)
\( \sigma_{\text{vM}} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ 90^2 + (-70)^2 + 20^2 \right] + 3(400) } \) \[ \sigma_{\text{vM}} = \sqrt{7900} \] \[ \sigma_{\text{vM}} \approx 88.88 \, \text{MPa} \]
2. Vérification du Critère de Sécurité
Le critère de Von Mises stipule que la structure est sûre tant que la contrainte équivalente est inférieure à la limite d’élasticité du matériau.
Comparons \(\sigma_{\text{vM}}\) à la limite d’élasticité :
\[ 88.88 \, \text{MPa} < 250 \, \text{MPa} \]
La contrainte équivalente de Von Mises est bien inférieure à la limite d’élasticité de l’acier, donc la poutre respecte le critère de rupture de Von Mises.
3. Marge de Sécurité
La marge de sécurité est le rapport entre la limite d’élasticité et la contrainte équivalente :
- Marge de sécurité
\[ = \frac{250 \, \text{MPa}}{88.88 \, \text{MPa}}
\]
\[
\text{Marge de sécurité} \approx 2.81
\]
Une marge de sécurité de 2.81 signifie que la poutre peut supporter des contraintes environ 2.81 fois supérieures aux contraintes actuelles avant d’atteindre la limite d’élasticité.
Cette marge indique une conception sûre sous les conditions données.
Conclusion
La poutre en acier, sous les contraintes données, respecte le critère de rupture de Von Mises et possède une marge de sécurité suffisante, ce qui indique une conception adéquate pour les conditions de charge spécifiées.
Cette analyse est cruciale pour garantir la sécurité et la durabilité de la structure dans le cadre du génie civil.
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