Calcul des charges concentrées

Calcul des charges concentrées

Comprendre le calcul des charges concentrées

Vous travaillez en tant qu’ingénieur dans une entreprise qui conçoit des poutres en acier pour différents projets de construction.

On vous donne la responsabilité de vérifier la capacité d’une poutre à résister à une série de charges concentrées.

Données :

Longueur de la poutre, \(L = 5\) m
Moment d’inertie de la section, \(I = 5000\) cm\(^4\)
Modulus d’élasticité de l’acier, \(E = 210\) GPa
Charges concentrées:
\(P_1 = 10\) kN à \(a_1 = 1\) m de l’extrémité gauche
\(P_2 = 15\) kN à \(a_2 = 3\) m de l’extrémité gauche
\(P_3 = 5\) kN à \(a_3 = 4\) m de l’extrémité gauche

Questions :

  1. Calculez les réactions aux appuis si la poutre est simplement appuyée à ses deux extrémités.
  2. Tracez le diagramme des moments fléchissants pour toute la longueur de la poutre.
  3. Déterminez la position et la valeur du moment fléchissant maximal.
  4. En utilisant la formule \(\sigma = \frac{M}{S}\), où \(S\) est le module de la section (en cm\(^3\)), calculez la contrainte maximale dans la poutre si le module de la section est \(S = 250\) cm\(^3\). 

Indications :

  • Pour calculer les réactions aux appuis, utilisez le principe de l’équilibre en considérant les moments et les forces verticales.
  • Pour le diagramme des moments fléchissants, commencez par les charges concentrées et additionnez les effets successifs.
  • Rappelez-vous que la contrainte est maximale là où le moment fléchissant est maximal. 

Correction : calcul des charges concentrées

1. Calcul des réactions aux appuis:

Soient \(R_A\) et \(R_B\) les réactions aux appuis à l’extrémité gauche (A) et à l’extrémité droite (B) de la poutre, respectivement.

Pour l’équilibre vertical:

\[R_A + R_B = P_1 + P_2 + P_3\]
\[ R_A + R_B = 10 + 15 + 5 = 30 \text{ kN} \quad \text{(Équation 1)} \]

Pour les moments autour de A:

\[ M_A = P_1 \times a_1 + P_2 \times a_2 + P_3 \times a_3 – R_B \times L = 0 \] \[ M_A = 10 \times 1 + 15 \times 3 + 5 \times 4 – R_B \times 5 = 0 \] \[ 10 + 45 + 20 = 75 = R_B \times 5 \] \[ R_B = 15 \text{ kN} \]

En utilisant l’équation (1), on trouve:

\[ R_A = 30 – 15 = 15 \text{ kN} \]

2. Diagramme des moments fléchissants:

Entre 0 et 1 m : \( M(x) = R_A \times x = 15x \)

Entre 1 m et 3 m : \( M(x) = 15x – 10(x – 1) \)

Entre 3 m et 4 m : \( M(x) = 15x – 10(x – 1) – 15(x – 3) \)

Entre 4 m et 5 m : \( M(x) = 15x – 10(x – 1) – 15(x – 3) – 5(x – 4) \)

Calcul des charges concentrées

3. Moment fléchissant maximal:

En dérivant les expressions de \( M(x) \) et en les égalant à zéro, on peut déterminer les points d’inflexion.

Mais, ici, les changements brusques se produisent à cause des charges concentrées, donc le moment maximal se trouve probablement à l’une des charges ou juste avant/après.

En évaluant \( M(x) \) aux points 1 m, 3 m, et 4 m, et aux points juste avant et après:

À \( x = 1^- \), \( M = 15 \text{ kN} \cdot m \)

À \( x = 1^+ \), \( M = 5 \text{ kN} \cdot m \)

À \( x = 3^- \), \( M = 25 \text{ kN} \cdot m \)

À \( x = 3^+ \), \( M = 10 \text{ kN} \cdot m \)

À \( x = 4^- \), \( M = 5 \text{ kN} \cdot m \)

À \( x = 4^+ \), \( M = 0 \text{ kN} \cdot m \)

Le moment fléchissant maximal est de 25 kN.m et il se trouve à \( x = 3^- \) m.

4. Contrainte maximale:

\[ \sigma = \frac{M}{S} \]

Avec \( M_{max} = 25 \text{ kN.m} = 25000 \text{ N.m} \) et \( S = 250 \text{ cm}^3 = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^3 \):
\[ \sigma_{max} = \frac{25000}{2.5 \times 10^{-4}} \] \[ \sigma_{max} = 100 \times 10^6 \text{ N/m}^2 \] \[ \sigma_{max} = 100 \text{ MPa} \]

La contrainte maximale dans la poutre est de 100 MPa.

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