Déplacement de l’Extrémité Libre

Déplacement de l’Extrémité Libre

Comprendre le déplacement de l’Extrémité Libre

Considérons une poutre encastrée-libre, c’est-à-dire une poutre avec une extrémité encastrée et l’autre extrémité libre.

Cette poutre est soumise à une charge uniformément répartie et à une charge ponctuelle à son extrémité libre.

Données de la Poutre:

Les caractéristiques de la poutre et les charges appliquées sont les suivantes :

  • Longueur de la poutre, L = 6 m
  • Module d’élasticité du matériau de la poutre, E = 210 GPa
  • Moment d’inertie de la section transversale, I = 8000 cm^4
  • Charge uniformément répartie, q = 5 kN/m
  • Charge ponctuelle à l’extrémité libre, P = 10 kN

Instructions:

  1. Calcul des Réactions d’Appui: Déterminer les réactions au niveau de l’encastrement.
  2. Diagramme des Moments Fléchissants (DMF): Établir le DMF pour la poutre.
  3. Déplacement de l’Extrémité Libre: Calculer le déplacement vertical de l’extrémité libre de la poutre.

Correction : déplacement de l’Extrémité Libre

Étape 1: Calcul des Réactions d’Appui

Pour une poutre encastrée-libre, les réactions d’appui se composent d’une force verticale et d’un moment à l’encastrement.

1. Force Verticale à l’Encastrement (R)

La force totale due à la charge uniformément répartie est

    \[ = q \times L \]

    \[ = 5 \, \text{kN/m} \times 6 \, \text{m} \]

    \[ = 30 \, \text{kN} \]

Cette force agit au centre de gravité de la charge répartie, qui se situe au milieu de la poutre (à 3 m de l’encastrement). En plus, il y a une charge ponctuelle de 10 kN à l’extrémité libre.

L’équation d’équilibre verticale est :

    \[ R = qL + P \]

    \[ R = 30 \, \text{kN} + 10 \, \text{kN} \]

    \[ R = 40 \, \text{kN} \]

2. Moment à l’Encastrement (M)

Le moment dû à la charge uniformément répartie est \frac{qL^2}{2} et le moment dû à la charge ponctuelle est PL

Ainsi,

    \[ M = \frac{qL^2}{2} + PL \]

    \[ M = \frac{5 \times 6^2}{2} + 10 \times 6 \]

    \[ M = 90 + 60 \]

    \[ M = 150 \, \text{kNm} \]

Étape 2: Diagramme des Moments Fléchissants (DMF)

Le DMF pour une poutre encastrée-libre avec une charge uniformément répartie et une charge ponctuelle à l’extrémité se calcule de la manière suivante :

  • À l’encastrement (point A, à x=0), le moment est maximal et égal à 150 kNm (calculé ci-dessus).
  • Le moment diminue linéairement le long de la poutre à cause de la charge uniformément répartie.
  • À l’extrémité libre (point B, à x=L), le moment est nul.

Le DMF est donc une courbe qui commence à 150 kNm à l’encastrement, décroît linéairement et atteint 0 kNm à l’extrémité libre.

déplacement de l’Extrémité Libre

Étape 3: Déplacement de l’Extrémité Libre

1. Déplacement dû à la Charge Uniformément Répartie (\delta_q)

    \[ \delta_q = \frac{5qL^4}{384EI} \]

\delta_q = \frac{5 \times 5 \times 6^4}{384 \times 210 \times 10^3 \times 8000 \times 10^{-8}}

    \[ \delta_q = \frac{5 \times 5 \times 1296}{384 \times 210 \times 8000} \, \text{m} \]

    \[ \delta_q \approx 1.23 \times 10^{-3} \, \text{m} \]

Déplacement dû à la Charge Ponctuelle (\delta_P)

    \[ \delta_P = \frac{PL^3}{3EI} \]

\delta_P = \frac{10 \times 10^3 \times 6^3}{3 \times 210 \times 10^3 \times 8000 \times 10^{-8}}

    \[ \delta_P = \frac{10 \times 216}{3 \times 210 \times 8000} \, \text{m} \]

    \[ \delta_P \approx 1.37 \times 10^{-3} \, \text{m} \]

Déplacement Total à l’Extrémité Libre

    \[ \delta_{\text{total}} = \delta_q + \delta_P \]

\delta_{\text{total}} \approx 1.23 \times 10^{-3} + 1.37 \times 10^{-3} \, \text{m}

    \[ \delta_{\text{total}} \approx 2.60 \times 10^{-3} \, \text{m} \]

    \[ \delta_{\text{total}} \approx 2.60 \, \text{mm} \]

Résumé:

  • Les réactions à l’encastrement sont une force verticale de 40 kN et un moment de 150 kNm.
  • Le DMF décroît linéairement de 150 kNm à 0 kNm de l’encastrement à l’extrémité libre.
  • Le déplacement total à l’extrémité libre est d’environ 2.60 mm.

Déplacement de l’Extrémité Libre

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