Déplacement de l’Extrémité Libre

Déplacement de l’Extrémité Libre

Comprendre le déplacement de l’Extrémité Libre

Considérons une poutre encastrée-libre, c’est-à-dire une poutre avec une extrémité encastrée et l’autre extrémité libre.

Cette poutre est soumise à une charge uniformément répartie et à une charge ponctuelle à son extrémité libre.

Données de la Poutre:

Les caractéristiques de la poutre et les charges appliquées sont les suivantes :

  • Longueur de la poutre, L = 6 m
  • Module d’élasticité du matériau de la poutre, E = 210 GPa
  • Moment d’inertie de la section transversale, I = 8000 \({cm}^4\)
  • Charge uniformément répartie, q = 5 kN/m
  • Charge ponctuelle à l’extrémité libre, P = 10 kN
    Déplacement de l'Extrémité Libre

    Instructions:

    1. Calcul des Réactions d’Appui: Déterminer les réactions au niveau de l’encastrement.
    2. Diagramme des Moments Fléchissants (DMF): Établir le DMF pour la poutre.
    3. Déplacement de l’Extrémité Libre: Calculer le déplacement vertical de l’extrémité libre de la poutre.

    Correction : déplacement de l’Extrémité Libre

    Étape 1: Calcul des Réactions d’Appui

    Pour une poutre encastrée-libre, les réactions d’appui se composent d’une force verticale et d’un moment à l’encastrement.

    1. Force Verticale à l’Encastrement (R)

    La force totale due à la charge uniformément répartie est

    \[ = q \times L \] \[ = 5 \, \text{kN/m} \times 6 \, \text{m} \] \[ = 30 \, \text{kN} \]

    Cette force agit au centre de gravité de la charge répartie, qui se situe au milieu de la poutre (à 3 m de l’encastrement). En plus, il y a une charge ponctuelle de 10 kN à l’extrémité libre.

    L’équation d’équilibre verticale est :
    \[ R = qL + P \] \[ R = 30 \, \text{kN} + 10 \, \text{kN} \] \[ R = 40 \, \text{kN} \]

    2. Moment à l’Encastrement (M)

    Le moment dû à la charge uniformément répartie est \( \frac{qL^2}{2} \) et le moment dû à la charge ponctuelle est \( PL \)

    Ainsi,
    \[ M = \frac{qL^2}{2} + PL \] \[ M = \frac{5 \times 6^2}{2} + 10 \times 6 \] \[ M = 90 + 60 \] \[ M = 150 \, \text{kNm} \]

    Étape 2: Diagramme des Moments Fléchissants (DMF)

    Le DMF pour une poutre encastrée-libre avec une charge uniformément répartie et une charge ponctuelle à l’extrémité se calcule de la manière suivante :

    • À l’encastrement (point A, à \(x=0\)), le moment est maximal et égal à 150 kNm (calculé ci-dessus).
    • Le moment diminue linéairement le long de la poutre à cause de la charge uniformément répartie.
    • À l’extrémité libre (point B, à \(x=L\)), le moment est nul.

    Le DMF est donc une courbe qui commence à 150 kNm à l’encastrement, décroît linéairement et atteint 0 kNm à l’extrémité libre.

    Déplacement de l'Extrémité Libre

    Étape 3: Déplacement de l’Extrémité Libre

    Déplacement dû à la Charge Uniformément Répartie \((\delta_q)\):

    Le déplacement dû à la charge uniformément répartie est calculé par la formule :

    \[\delta_q = \frac{qL^4}{8EI} \] \[\delta_q = \frac{5  \times 10^3 \times 6^4}{8 \times 210 \times 10^9 \times 8000 \times 10^{-8}} \] \[\delta_q \approx 4.82 \, \text{mm}\]

    Déplacement dû à la Charge Ponctuelle \((\delta_P)\):

    Le déplacement dû à la charge ponctuelle est calculé par la formule :

    \[\delta_P = \frac{PL^3}{3EI} \] \[\delta_P = \frac{10 \times 10^3 \times 6^3}{3 \times 210 \times 10^9 \times 8000 \times 10^{-8}} \] \[\delta_P \approx 4.29 \, \text{mm}\]

    Déplacement Total à l’Extrémité Libre:

    Le déplacement total à l’extrémité libre est donc la somme des deux déplacements calculés précédemment :

    \[\delta_{\text{total}} = \delta_q + \delta_P \] \[\delta_{\text{total}} \approx 4.82 \, \text{mm} + 4.29 \, \text{mm} \] \[\delta_{\text{total}} \approx 9.11 \, \text{mm}\]

    Résumé:

    • Les réactions à l’encastrement sont une force verticale de 40 kN et un moment de 150 kNm.
    • Le Diagramme des Moments Fléchissants (DMF) décroît linéairement de 150 kNm à 0 kNm de l’encastrement à l’extrémité libre.
    • Le déplacement total à l’extrémité libre est d’environ 9.11 mm, ce qui est significativement plus élevé que le résultat initialement calculé de 2.60 mm.

    Déplacement de l’Extrémité Libre

    D’autres exercices de Rdm:

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