Théorie de la plasticité

Théorie de la plasticité

Comprendre la Théorie de la plasticité

Vous êtes ingénieur en génie civil et vous travaillez sur la conception d’une poutre en acier qui doit supporter une charge répartie.

La poutre est en acier structural avec un comportement élastoplastique caractérisé par une limite d’élasticité et une résistance ultime.

Vous devez analyser cette poutre pour déterminer si elle atteindra un état plastique sous une charge donnée et, si oui, quelle est la charge maximale qu’elle peut supporter avant de subir une déformation plastique permanente.

Données

  • Matériau de la poutre: Acier, avec une limite d’élasticité \sigma_Y = 250 \, \text{MPa} et une résistance ultime \sigma_U = 450 \, \text{MPa}.
  • Dimensions de la poutre: Longueur L = 6 \, \text{m}, section transversale rectangulaire avec largeur b = 50 \, \text{mm} et hauteur h = 150 \, \text{mm}.
  • Charge: Charge uniformément répartie q sur toute la longueur de la poutre q = 10 \, \text{kN/m}.

Consignes de l’Exercice

1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (M\_max):
Déterminez le moment fléchissant maximal M_{\text{max}} dans la poutre sous l’effet de la charge répartie q.

2. État de Contrainte:
Calculer la contrainte maximale \sigma_{\text{max}} dans la poutre sous l’effet de M_{\text{max}}. Utiliser la formule \sigma = \frac{M \cdot y}{I}, où y est la distance maximale de l’axe neutre (ici \frac{h}{2}), et I est le moment d’inertie de la section (pour une section rectangulaire, I = \frac{b \cdot h^3}{12}).

3. Analyse de la Plasticité:
Vérifiez si la contrainte maximale atteint la limite d’élasticité. Si oui, déterminez si la poutre entre en phase plastique sous la charge q. Calculez la charge répartie maximale q_{\text{max}} que la poutre peut supporter sans entrer dans le domaine plastique.

4. Discussion
Discutez des implications si la poutre entre en phase plastique et de l’importance de considérer la limite d’élasticité dans la conception des structures.

Correction : Théorie de la plasticité

Étape 1: Calcul du Moment Fléchissant Maximal (M\_max)

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se produit au milieu de la poutre et est donné par la formule :

    \[M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8}\]

En substituant q = 10 \, \text{kN/m} (ou 10,000 \, \text{N/m}) et L = 6 \, \text{m}, nous obtenons :

    \[M_{\text{max}} = \frac{10,000 \cdot 6^2}{8} \]

    \[M_{\text{max}} = \frac{10,000 \cdot 36}{8} \]

    \[M_{\text{max}} = 45,000 \, \text{Nm}\]

Étape 2: État de Contrainte

Calculons maintenant la contrainte maximale dans la poutre. La contrainte due à un moment fléchissant est donnée par :

    \[\sigma = \frac{M \cdot y}{I}\]

y = \frac{h}{2} = \frac{150 \, \text{mm}}{2} = 75 \, \text{mm} est la distance maximale de l’axe neutre, et le moment d’inertie I pour une section rectangulaire est \frac{b \cdot h^3}{12}.

Calculons I :

    \[I = \frac{50 \cdot 150^3}{12} \]

    \[I = \frac{50 \cdot 3,375,000}{12} \]

    \[I= 14,062,500 \, \text{mm}^4\]

Convertissant I en \text{m}^4 pour cohérence des unités :

    \[I = 14,062,500 \, \text{mm}^4 \]

    \[I = 14.0625 \, \text{m}^4 \times 10^{-6}\]

Calculons maintenant \sigma_{\text{max}} :

    \[\sigma_{\text{max}} = \frac{45,000 \cdot 0.075}{14.0625 \times 10^{-6}} \]

    \[\sigma_{\text{max}} = \frac{3,375}{14.0625 \times 10^{-6}} \]

    \[\sigma_{\text{max}} = 239,760,000 \, \text{Pa} \]

    \[\sigma_{\text{max}} = 239.76 \, \text{MPa}\]

Étape 3: Analyse de la Plasticité

La contrainte maximale est de 239.76 \, \text{MPa}. La limite d’élasticité de l’acier est de 250 \, \text{MPa}. Puisque 239.76 \, \text{MPa} < 250 \, \text{MPa}, la poutre reste dans le domaine élastique sous cette charge et ne subit pas de déformation plastique.

Pour déterminer la charge répartie maximale q_{\text{max}} sans entrer dans le domaine plastique, nous utilisons la contrainte à la limite élastique :

    \[\sigma_Y = \frac{M_{\text{max}} \cdot y}{I} \]

    \[ \quad 250 \times 10^6 = \frac{q_{\text{max}} \cdot L^2 \cdot y}{8 \cdot I}\]

Résolvons pour q_{\text{max}} :

    \[q_{\text{max}} = \frac{250 \times 10^6 \times 8 \times I}{L^2 \times y} \]

=\frac{250 \times 10^6 \times 8 \times 14.0625 \times 10^{-6}}{6^2 \times 0.075}

    \[q_{\text{max}} \approx 10,564 \, \text{N/m} \]

    \[q_{\text{max}} \approx 10.564 \, \text{kN/m}\]

Étape 4: Discussion

La charge répartie de 10 \, \text{kN/m} ne dépasse pas la charge maximale sans plasticité, qui est d’environ 10.564 \, \text{kN/m}.

Par conséquent, la poutre reste dans le domaine élastique sous cette charge. Cela indique que la poutre peut supporter cette charge sans subir de déformation plastique permanente.

Il est crucial de concevoir des structures en tenant compte de la limite d’élasticité pour éviter des défaillances inattendues ou des dommages permanents dans les matériaux de construction.

Théorie de la plasticité

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