Vérification de la limite d’élasticité
Comprendre la Vérification de la limite d’élasticité
Vous êtes ingénieur en structure au sein d’une entreprise de construction. On vous confie la tâche de concevoir une poutre en acier qui doit supporter un toit plat.
La poutre sera soutenue à ses deux extrémités, ce qui constitue un appui simple. Le toit est soumis à diverses charges, y compris son propre poids, la neige, et une charge d’entretien.
Il est crucial que la poutre reste dans sa zone élastique sous ces charges pour assurer la sécurité et la durabilité de la structure.
Données:
- Matériau de la poutre: Acier, avec une limite d’élasticité de 250 MPa.
- Longueur de la poutre (L): 8 mètres.
- Charge uniformément répartie (w): Comprend le poids propre de la toiture, la neige, et la charge d’entretien, totalisant 5 kN/m.
- Section transversale de la poutre: Profil IPE 300. Les propriétés de la section sont:
- Moment d’inertie (I): 7900 cm\(^4\)
- Hauteur de la section (h): 300 mm.
- Largeur de la section (b): 150 mm.
- Épaisseur de l’âme (t): 7.1 mm.
- Module d’élasticité de l’acier (E): 210 GPa.
Questions:
1. Calcul de la réaction aux appuis
- Déterminer les réactions d’appui aux extrémités de la poutre.
2. Calcul du moment fléchissant maximal (\(M_{max}\))
- Utiliser la théorie des poutres en RDM pour calculer le moment fléchissant maximal dans la poutre.
3. Calcul de la contrainte maximale (\(\sigma_{max}\)) dans la poutre
4. Vérification de la limite d’élasticité
- Vérifier si la contrainte maximale \(\sigma_{max}\) dépasse la limite d’élasticité de l’acier. Si c’est le cas, la poutre n’est pas adéquate. Sinon, la poutre est considérée comme sûre.
Correction : Vérification de la limite d’élasticité
1. Calcul des Réactions d’Appui
Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, les réactions aux appuis sont égales et peuvent être calculées comme suit :
\[ R_A = R_B = \frac{w \times L}{2} \]
où \(R_A\) et \(R_B\) sont les réactions aux appuis A et B, \(w\) est la charge répartie (5 kN/m), et \(L\) est la longueur de la poutre (8 m).
\[ R_A = R_B = \frac{5 \times 8}{2} = 20 \, \text{kN} \]
2. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{\text{max}}\))
Le moment fléchissant maximal pour une poutre simplement appuyée sous une charge uniformément répartie se produit au milieu de la poutre et peut être calculé par :
\[ M_{\text{max}} = \frac{w \times L^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{5 \times 8^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{5 \times 64}{8} = 40 \, \text{kNm} \]
3. Calcul de la Contrainte Maximale (\(\sigma_{\text{max}}\))
La contrainte maximale dans la poutre due au moment fléchissant peut être calculée à l’aide de la formule de la contrainte de flexion :
\[ \sigma = \frac{M \times y}{I} \]
où :
- \(M\) est le moment fléchissant (\(40 \, \text{kNm} = 40000 \, \text{N} \cdot \text{m}\)),
- \(y\) est la distance de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre (\(y = \frac{h}{2} = \frac{300}{2} = 150 \, \text{mm} = 0.15 \, \text{m}\)),
- \(I\) est le moment d’inertie de la section transversale (\(7900 \, \text{cm}^4 = 7900 \times 10^{-8} \, \text{m}^4\)).
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{40000 \times 0.15}{7900 \times 10^{-4}} \]
Calculons la valeur de \(\sigma_{\text{max}}\) :
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{6000}{7900 \times 10^{-4}} \]
La contrainte maximale dans la poutre est de \(75.95 \, \text{MPa}\).
4. Vérification de la Limite d’Élasticité
La limite d’élasticité de l’acier donnée est de \(250 \, \text{MPa}\). Comparons cette limite à la contrainte maximale calculée :
- \( \sigma_{\text{max}} = 75.95 \, \text{MPa} \)
- \( \text{Limite d’élasticité} = 250 \, \text{MPa} \)
La contrainte maximale dans la poutre (\(75.95 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la limite d’élasticité de l’acier (\(250 \, \text{MPa}\)), ce qui signifie que la poutre reste dans sa zone élastique sous les charges données. Par conséquent, la poutre est considérée comme sûre pour l’usage prévu, et elle ne subira pas de déformation plastique sous les charges spécifiées.
Conclusion
La poutre en acier IPE 300 est adéquate pour supporter la charge uniformément répartie de 5 kN/m sur une portée de 8 m, tout en restant dans sa zone élastique.
Cette vérification assure que la poutre peut soutenir les charges imposées sans risque de défaillance par dépassement de la limite d’élasticité de l’acier.
Vérification de la limite d’élasticité
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