Charge Critique de Flambement

Charge Critique de Flambement

Comprendre la Charge Critique de Flambement

Dans une entreprise de construction, un ingénieur doit concevoir une colonne verticale légère qui supportera une charge axiale.

La colonne est en acier avec un module d’élasticité E de 200 GPa. La colonne a une longueur L de 3 mètres et un moment d’inertie \(I\) de 4000 cm\(^4\).

La colonne est fixée à la base et libre en haut (cas de flambement d’Euler pour une colonne encastrée-libre).

Objectif:

Déterminer la charge critique de flambement de la colonne.

Données

  • Longueur de la colonne, \(L = 3\) mètres
  • Module d’élasticité de l’acier, \(E = 200\) GPa
  • Moment d’inertie, \(I = 4000\) cm\(^4\) (ou \(4 \times 10^{-6}\) m\(^4\) en convertissant les unités)

Correction : Charge Critique de Flambement

Étape 1: Comprendre le Problème

Il s’agit d’une colonne en acier avec les propriétés suivantes :

  • Longueur (L) = 3 m
  • Module d’élasticité (E) = 200 GPa
  • Moment d’inertie (I) = 4000 cm\(^4\)

La colonne est encastrée à la base et libre en haut, ce qui correspond au cas de flambement d’Euler pour une colonne encastrée-libre.

Étape 2: Conversion des Unités (si nécessaire)

Le moment d’inertie est donné en cm\(^4\). Pour le convertir en m\(^4\) (unités SI), utilisez :

\[ 1 \, \text{cm}^4 = 10^{-8} \, \text{m}^4 \]

Donc,

\[ I = 4000 \, \text{cm}^4 = 4000 \times 10^{-8} \, \text{m}^4 \] \[ I = 4 \times 10^{-6} \, \text{m}^4 \]

Étape 3: Utilisation de la Formule de Flambement d’Euler

La formule pour une colonne encastrée-libre est :

\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(2L)^2} \]

Ici, \(E\) est en GPa, qui doit être converti en Pa (unités SI) :

  • \( 1 \, \text{GPa} = 10^9 \, \text{Pa} \)
  • Donc, \( E = 200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^9 \, \text{Pa} \)

Maintenant, appliquez la formule :

\[ = \frac{\pi^2 \times 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{(6)^2} \] \[ = \frac{9.8696 \times 200 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{36} \] \[ = \frac{7877.472 \times 10^3}{36} \] \[ P_{cr} \approx 218.76 \times 10^3 \] \[ P_{cr}  \approx 218.76 \, \text{kN} \]

Réponse Finale

La charge critique de flambement pour la colonne donnée est d’environ 218.76 kN.

Charge Critique de Flambement

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