Propriétés mécaniques des matériaux

Propriétés Mécaniques des Matériaux

Contexte sur les propriétés mécaniques des matériaux

Vous êtes un ingénieur travaillant sur la conception d’une poutre pour un petit pont. La poutre est faite d’un acier standard, et elle doit supporter une charge uniformément répartie, incluant le poids du pont et une charge supplémentaire due au trafic.

Données :

  • Matériau de la poutre : Acier
  • Module de Young de l’acier : 210 GPa
  • Limite élastique de l’acier : 250 MPa
  • Longueur de la poutre : 10 m
  • Largeur de la poutre : 0.3 m
  • Hauteur de la poutre : 0.6 m
  • Charge uniformément répartie (y compris le poids du pont) : 30 kN/m

Exercice :

  1. Calculez le moment d’inertie de la section de la poutre.
  2. Déterminez la charge maximale supplémentaire que la poutre peut supporter sans dépasser la limite élastique de l’acier.
  3. Calculez la flèche maximale de la poutre sous cette charge supplémentaire, en supposant un comportement élastique linéaire.

Correction : propriétés mécaniques des matériaux

1. Calcul du Moment d’Inertie de la Section de la Poutre

Formule utilisée :

    \[ I = \frac{1}{12} \times b \times h^3 \]

Données :

  • Largeur de la poutre, b = 0.3 \, \text{m}
  • Hauteur de la poutre, h = 0.6 \, \text{m}

Calcul :

    \[ I = \frac{1}{12} \times 0.3 \times (0.6)^3 \]

    \[ = 0.0054 \, \text{m}^4 \]

2. Charge Maximale Supplémentaire Supportable

Formules utilisées :

  • Contrainte de flexion :

    \[ \sigma = \frac{M \times y}{I} \]

  • Moment de flexion :

    \[ M = \frac{q_{\text{total}} \times L^2}{8} \]

Données :

  • Limite élastique de l’acier, \sigma_{\text{max}} = 250 \, \text{MPa}
  • Longueur de la poutre, L = 10 \, \text{m}
  • Charge existante, q_{\text{existante}} = 30 \, \text{kN/m}

Calcul :

250 \times 10^6 = \frac{(30 + q_{\text{add}}) \times 10^2 \times 0.6}{8 \times 0.0054}

    \[ q_{\text{add}} = 150 \, \text{kN/m} \]

La poutre peut supporter une charge maximale supplémentaire de 150 kN/m sans dépasser la limite élastique de l’acier.

3. Calcul de la Flèche Maximale de la Poutre

Formule utilisée :

    \[ \delta = \frac{5qL^4}{384EI} \]

Données :

  • Charge totale, q = 180 \, \text{kN/m} (30 kN/m existante + 150 kN/m supplémentaire)
  • Module de Young de l’acier, E = 210 \, \text{GPa}
  • Moment d’inertie, I = 0.0054 \, \text{m}^4

Calcul :

\delta = \frac{5 \times 180 \times 10^3 \times 10^4}{384 \times 210 \times 10^9 \times 0.0054}

    \[ = 20.67 \, \text{mm} \]

La flèche maximale de la poutre sous la charge totale est d’environ 20.67 mm.

Propriétés mécaniques des matériaux

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