Calculer la variation de longueur des poutres

Calculer la variation de longueur des poutres

Comprendre comment Calculer la variation de longueur des poutres

Considérons une passerelle métallique utilisée pour le passage piétonnier au-dessus d’une voie ferrée.

La passerelle est soutenue par deux poutres en acier parallèles de longueur L. On souhaite étudier l’influence des variations de température sur cette structure, en particulier lors de conditions extrêmes en été et en hiver.

Données:

  • Longueur de chaque poutre, L = 30 m
  • Coefficient de dilatation linéaire de l’acier, \(\alpha = 12 \times 10^{-6}\, /\text{°C}\)
  • Température en été, \(T_{\text{été}}\) = 40 °C
  • Température en hiver, \(T_{\text{hiver}}\) = -10 °C
  • Température de référence lors de l’installation, \(T_{\text{ref}}\) = 20 °C

Objectif:

Calculer la variation de longueur des poutres en été et en hiver.

Correction : Calculer la variation de longueur des poutres

1. Comprendre la Dilatation Thermique

La dilatation thermique décrit comment un objet change de dimension (longueur, volume) en réponse à un changement de température. La formule générale pour la dilatation linéaire est:

\[
\Delta L = \alpha \cdot L \cdot \Delta T
\]

où \( \Delta L \) est la variation de longueur, \( \alpha \) est le coefficient de dilatation linéaire, \( L \) est la longueur originale, et \( \Delta T \) est la variation de température.

2. Calcul de la Variation de Longueur en Été

\[ \Delta T_{\text{été}} = T_{\text{été}} – T_{\text{ref}} \] \[ \Delta T_{\text{été}} = 40 \, \text{°C} – 20 \, \text{°C} \] \[ \Delta T_{\text{été}} = 20 \, \text{°C}
\]

\[ \Delta L_{\text{été}} = \alpha \cdot L \cdot \Delta T_{\text{été}} \] \[ \Delta L_{\text{été}} = 12 \times 10^{-6} /°C \cdot 30 \, m \cdot 20 \, \text{°C} \] \[ \Delta L_{\text{été}} = 7.2 \times 10^{-3} \, m \] \[ \Delta L_{\text{été}} = 7.2 \, mm \]

3. Calcul de la Variation de Longueur en Hiver

\[ \Delta T_{\text{hiver}} = T_{\text{hiver}} – T_{\text{ref}} \] \[ \Delta T_{\text{hiver}} = -10 \, \text{°C} – 20 \, \text{°C} \] \[ \Delta T_{\text{hiver}} = -30 \, \text{°C} \]

\[ \Delta L_{\text{hiver}} = \alpha \cdot L \cdot \Delta T_{\text{hiver}} \] \[ \Delta L_{\text{hiver}} = 12 \times 10^{-6} /°C \cdot 30 \, m \cdot (-30 \, \text{°C}) \] \[ \Delta L_{\text{hiver}} = -10.8 \times 10^{-3} \, m \] \[ \Delta L_{\text{hiver}} = -10.8 \, mm \]

4. Analyse et Discussion

En été, les poutres s’allongent de 7.2 mm. Cet allongement est dû à l’augmentation de la température, ce qui entraîne une expansion du matériau.

En hiver, on observe une contraction des poutres de 10.8 mm. Cette contraction est due à la baisse de la température, entraînant une diminution de la longueur du matériau.

Calculer la variation de longueur des poutres

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