Déformation de Différentes Sections Transversales
Comprendre la Déformation de Différentes Sections Transversales
Imaginons un projet de construction d’un petit pont piétonnier en milieu urbain. Ce pont doit supporter à la fois son propre poids et la charge des piétons.
Nous allons calculer la contrainte maximale et la déformation d’une poutre de ce pont en considérant trois types de sections transversales : rectangulaire, circulaire et en forme de I.
Données
- Longueur de la poutre, L = 10 m.
- Charge uniformément répartie, q = 5 kN/m (inclut le poids de la structure et la charge des piétons).
- Matériau : Acier (Module d’élasticité, E = 210 GPa ; Limite d’élasticité, \( \sigma_y = 250 \, \text{MPa} \)).
Dimensions des sections
- Rectangulaire : largeur b = 300 mm, hauteur h = 600 mm.
- Circulaire : diamètre d = 500 mm.
- En forme de I : hauteur h = 600 mm, largeur de la bride \( b_f = 300 \, \text{mm} \), épaisseur de la bride \( t_f = 25 \, \text{mm} \), épaisseur de l’âme \( t_w = 15 \, \text{mm} \).
Tâches
1. Calculer la charge totale sur la poutre.
2. Calculer le moment fléchissant maximal (\( M_{\text{max}} \)).
3. Calculer le moment d’inertie (\( I \)) pour chaque section.
4. Calculer la contrainte maximale dans chaque section.
5. Calculer la flèche maximale pour chaque type de section.
Correction : Déformation de Différentes Sections Transversales
1. Calcul de la Charge Totale :
La charge totale est le produit de la charge uniformément répartie et de la longueur de la poutre.
\[ W = q \times L \] \[ W = 5\, \text{kN/m} \times 10\, \text{m} \] \[ W = 50\, \text{kN} \]
2. Moment Fléchissant Maximal :
Pour une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal est donné par
\[ M_{\text{max}} = \frac{q \times L^2}{8} \] \[ = \frac{5\, \text{kN/m} \times (10\, \text{m})^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 62.5\, \text{kNm} \]
Le moment fléchissant maximal est crucial pour évaluer la résistance de la section de la poutre. Il est important de noter que ce moment est le plus grand moment que la poutre subira.
3. Moment d’Inertie (I) :
Pour la section rectangulaire :
\[ I_{\text{rect}} = \frac{b \times h^3}{12} \] \[ = \frac{0.3\, \text{m} \times (0.6\, \text{m})^3}{12} \] \[ I_{\text{rect}} = 5.4 \times 10^{-3}\, \text{m}^4 \]
Pour la section circulaire :
\[ I_{\text{circ}} = \frac{\pi \times d^4}{64} \] \[ = \frac{\pi \times (0.5\, \text{m})^4}{64} \] \[ I_{\text{circ}} \approx 3.07 \times 10^{-3}\, \text{m}^4 \]
Pour la section en forme de I :
\[ I_I = 2\left(\frac{b_f \cdot t_f^3}{12}\right) + b_f \cdot t_f \left(\frac{h – t_f}{2}\right)^2 + \frac{t_w \cdot (h – 2t_f)^3}{12} \]
Où,
- \(b_f\) est la largeur de la bride, \(b_f = 300 \, \text{mm} = 0.3 \, \text{m}\),
- \(t_f\) est l’épaisseur de la bride, \(t_f = 25 \, \text{mm} = 0.025 \, \text{m}\),
- \(t_w\) est l’épaisseur de l’âme, \(t_w = 15 \, \text{mm} = 0.015 \, \text{m}\),
- \(h\) est la hauteur totale de la section, \(h = 600 \, \text{mm} = 0.6 \, \text{m}\)
\[ I_I = 2\left(\frac{0.3 \cdot 0.025^3}{12}\right) + 0.3 \cdot 0.025 \left(\frac{0.6 – 0.025}{2}\right)^2 + \frac{0.015 \cdot (0.6 – 2 \cdot 0.025)^3}{12} \] \[ I_I = 8.29 \times 10^{-4} \, \text{m}^4 \]
4. Contrainte Maximale
- Formule Générale :
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}} \times y}{I} \]
où \(y\) est la distance la plus éloignée de l’axe neutre (dans ce cas, \(h/2\)).
Pour la section rectangulaire :
- \( M_{\text{max}} = 62.5\, \text{kNm} = 62,500\, \text{N} \cdot \text{m} \)
- \( I_{\text{rect}} = 5.4 \times 10^{-3}\, \text{m}^4 \)
- \( y = h/2 = 0.6\, \text{m} / 2 = 0.3\, \text{m} \)
\[ \sigma_{\text{rect}} = \frac{62,500\, \text{N} \cdot \text{m} \times 0.3\, \text{m}}{5.4 \times 10^{-3}\, \text{m}^4} \] \[ \sigma_{\text{rect}} \approx 3.47 \times 10^{6}\, \text{Pa} \] \[ \sigma_{\text{rect}} = 3.47\, \text{MPa} \]
Pour la section circulaire :
- \( I_{\text{circ}} = 3.07 \times 10^{-3}\, \text{m}^4 \)
- \( y = d/2 = 0.5\, \text{m} / 2 = 0.25\, \text{m} \)
\[ \sigma_{\text{circ}} = \frac{62,500\, \text{N} \cdot \text{m} \times 0.25\, \text{m}}{3.07 \times 10^{-3}\, \text{m}^4} \] \[ \sigma_{\text{circ}} \approx 5.09 \times 10^{6}\, \text{Pa} \] \[ \sigma_{\text{circ}} = 5.09\, \text{MPa} \]
Pour la section en forme de I :
- \(I_I = 8.29 \times 10^{-4} \, \text{m}^4\)
- \( y = h/2 = 0.3\, \text{m} \) (la même que pour la section rectangulaire)
\[ \sigma_I = \frac{62500 \times 0.3}{8.29 \times 10^{-4}} \] \[ \sigma_I \approx 22.63 \, \text{MPa} \]
5. Flèche Maximale
- Formule Générale :
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 q L^4}{384 E I} \]
Pour la section rectangulaire :
- \( E = 210\, \text{GPa} = 210 \times 10^9\, \text{Pa} \)
- \( I_{\text{rect}} = 5.4 \times 10^{-3}\, \text{m}^4 \)
\[ \delta_{\text{rect}} = \frac{5 \times 5,000\, \text{N/m} \times (10\, \text{m})^4}{384 \times 210 \times 10^9\, \text{Pa} \times 5.4 \times 10^{-3}\, \text{m}^4} \] \[ \delta_{\text{rect}} \approx 0.0039\, \text{m} \] \[ \delta_{\text{rect}} = 3.9\, \text{mm} \]
Pour la section circulaire :
- \( I_{\text{circ}} = 3.07 \times 10^{-3}\, \text{m}^4 \)
\[ \delta_{\text{circ}} = \frac{5 \times 5,000\, \text{N/m} \times (10\, \text{m})^4}{384 \times 210 \times 10^9\, \text{Pa} \times 3.07 \times 10^{-3}\, \text{m}^4} \] \[ \delta_{\text{circ}} \approx 0.0058\, \text{m} \] \[ \delta_{\text{circ}} = 5.8\, \text{mm} \]
Pour la section en forme de I :
- \(I_I = 8.29 \times 10^{-4} \, \text{m}^4\)
\[ \delta_I = \frac{5 \times 5000 \times (10)^4}{384 \times 210 \times 10^9 \times 8.29 \times 10^{-4}} \] \[ \delta_I \approx 3.74 \, \text{mm} \]
Déformation de Différentes Sections Transversales
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