Module d’Élasticité et de Résistance sous Charge

Module d’Élasticité et de Résistance sous Charge

Comprendre le calcul module d’Élasticité et de Résistance sous Charge

Imaginez que vous êtes un ingénieur travaillant sur la conception d’une passerelle piétonne. Cette passerelle doit être construite en acier et être capable de supporter un certain nombre de piétons à la fois.

Votre tâche est de déterminer si le matériau choisi pour la passerelle est suffisamment élastique et résistant pour répondre aux exigences de sécurité.

Données :

  • Matériau de la passerelle : Acier
  • Module d’élasticité de l’acier (E) : 210 GPa (GigaPascals)
  • Longueur de la passerelle (L) : 50 mètres
  • Largeur de la passerelle (b) : 3 mètres
  • Épaisseur de la passerelle (h) : 0,25 mètres
  • Charge maximale attendue (P) : 5000 N (Newtons) par mètre carré
  • Contrainte admissible de l’acier : 250 MPa (MegaPascals)

Exercice :

  1. Calculez la contrainte (σ) dans l’acier de la passerelle sous la charge maximale attendue. Utilisez la formule : σ = P/A, où A est la surface de la section transversale.
  2. En utilisant le module d’élasticité (E), calculez le taux de déformation (ε) de l’acier sous cette contrainte. Utilisez la relation : ε = σ/E.
  3. Évaluez si la contrainte calculée est inférieure à la contrainte admissible de l’acier. Si elle est inférieure, la passerelle est considérée comme sûre sous la charge maximale attendue.
  4. Enfin, discutez de l’impact d’une augmentation de 10% de la charge maximale sur la sécurité de la passerelle, en recalculant la contrainte et en l’évaluant par rapport à la contrainte admissible.

Correction : module d’Élasticité et de Résistance sous Charge

1. Calcul de la Contrainte (σ) dans l’Acier

La contrainte est donnée par la formule :

    \[\sigma = \frac{P}{A}\]


P est la charge appliquée et A est la surface de la section transversale.

  • Charge maximale appliquée (P) : 5000 \, \text{N/m}^2
  • Surface de la section transversale (A) :

A = Largeur × Épaisseur

    \[ = 3 \, \text{m} \times 0.25 \, \text{m} = 0.75 \, \text{m}^2 \]

Calcul de \sigma :

    \[ \sigma = \frac{5000}{0.75} \, \text{N/m}^2 \]

    \[ \sigma = 6666.67 \, \text{N/m}^2\]

Convertir en MegaPascals (MPa), sachant que 1 \, \text{MPa} = 10^6 \, \text{N/m}^2 :

    \[\sigma = \frac{6666.67}{10^6} \, \text{MPa} \]

    \[\sigma \approx 0.0067 \, \text{MPa}\]

2. Calcul du Taux de Déformation (ε) de l’Acier

Le taux de déformation est donné par la relation :

    \[\varepsilon = \frac{\sigma}{E}\]


E est le module d’élasticité.

  • Module d’élasticité de l’acier (E) : 210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{MPa}

Calcul de \varepsilon :

    \[ \varepsilon = \frac{0.0067}{210 \times 10^3} \]

    \[ \varepsilon = 3.19 \times 10^{-8}\]

3. Évaluation de la Sécurité

  • Contrainte calculée (σ) : 0.0067 \, \text{MPa}
  • Contrainte admissible de l’acier : 250 \, \text{MPa}

La contrainte calculée (0.0067 \, \text{MPa}) est bien inférieure à la contrainte admissible de l’acier (250 \, \text{MPa}).

Donc, la passerelle est considérée comme sûre sous la charge maximale attendue.

4. Impact d’une Augmentation de 10% de la Charge Maximale

Nouvelle charge maximale (P’) :

    \[ = 5000 \times 1.10 = 5500 \, \text{N/m}^2 \]

Nouvelle contrainte (σ’):

    \[\sigma' = \frac{5500}{0.75} = 7333.33 \, \text{N/m}^2\]


    \[\sigma' = \frac{7333.33}{10^6} = 0.0073 \, \text{MPa}\]

La nouvelle contrainte (0.0073 \, \text{MPa}) reste également inférieure à la contrainte admissible. Donc, même avec une augmentation de 10% de la charge, la passerelle reste sûre.

Conclusion :

La passerelle est sécuritaire sous les conditions données, et elle le reste même avec une augmentation de 10% de la charge maximale.

Ce résultat souligne la robustesse et la résilience du matériau (acier) utilisé pour la construction de la passerelle.

Calcul module d’Élasticité et de Résistance sous Charge

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