Contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires

Comprendre les contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires

Vous êtes ingénieur en structure et devez analyser une poutre en acier soumise à une charge uniformément répartie. La poutre a une section transversale rectangulaire.

Données

Longueur de la poutre : L = 6 mètres.
Largeur de la section transversale : b = 0.15 mètres.
Hauteur de la section transversale : h = 0.3 mètres.
Charge uniformément répartie : q = 5 kN/m.
Module d’élasticité de l’acier : E = 210 GPa.

Pour comprendre le Calcul de la contrainte de flexion, cliquez sur le lien.

contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires

Questions:

1. Calculez le moment fléchissant maximal \( M \).

2. Déterminez le moment d’inertie \( I \) de la section transversale.

3. Calculez la contrainte en fibres extrêmes \( \sigma_{\text{ext}} \).

4. Choisissez un point intermédiaire et calculez la contrainte en ce point \( \sigma_{\text{int}} \).

Réflexion Supplémentaire

Comment la distribution de contrainte varie-t-elle sur la hauteur de la section transversale ?
Quelles sont les implications de ces contraintes sur le choix du matériau et le design de la poutre ?

Correction : contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires

1. Calcul du moment fléchissant maximal \( M \)

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se situe au milieu de la portée et se calcule à partir de la formule suivante.

Formule :

\[ M = \frac{q \times L^2}{8} \]

Données :

\( q = 5 \, \text{kN/m} \)
\( L = 6 \, \text{m} \)

Calcul :

1. Calcul de \( L^2 \) :

\[ L^2 = 6^2 = 36 \, \text{m}^2 \]

2. Application de la formule :

\[ M = \frac{5 \, \text{kN/m} \times 36 \, \text{m}^2}{8} \] \[ M = \frac{180 \, \text{kN}\cdot\text{m}}{8} \] \[ M = 22.5 \, \text{kN}\cdot\text{m} \]

Résultat : Le moment fléchissant maximal est \( M = 22.5 \, \text{kN}\cdot\text{m} \).

2. Calcul du moment d’inertie \( I \) de la section transversale

La section considérée est rectangulaire. Le moment d’inertie d’une section rectangulaire par rapport à son axe neutre (parallèle à la largeur) se calcule avec la formule suivante.

Formule :

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]

Données :

\( b = 0.15 \, \text{m} \)
\( h = 0.3 \, \text{m} \)

Calcul :

1. Calcul de \( h^3 \) :

\[ h^3 = (0.3)^3 \] \[ = 0.3 \times 0.3 \times 0.3 = 0.027 \, \text{m}^3 \]

2. Calcul du produit \( b \times h^3 \) :

\[ 0.15 \times 0.027 = 0.00405 \, \text{m}^4 \]

3. Division par 12 :

\[ I = \frac{0.00405}{12} \approx 0.0003375 \, \text{m}^4 \]

Résultat : Le moment d’inertie est \( I \approx 0.0003375 \, \text{m}^4 \).

3. Calcul de la contrainte en fibres extrêmes \( \sigma_{\text{ext}} \)

La contrainte de flexion dans une poutre se répartit linéairement par rapport à l’axe neutre. La contrainte maximale se produit aux fibres extrêmes, à une distance \( c \) de l’axe neutre, avec \( c = \frac{h}{2} \).

Formule :

\[ \sigma = \frac{M \times c}{I} \]

Données :

Moment fléchissant maximal : \( M = 22.5 \, \text{kN}\cdot\text{m} \)
Pour être cohérent dans les unités, on convertit \( M \) en N·m :

\[ 22.5 \, \text{kN}\cdot\text{m} = 22.5 \times 1000 \, \text{N}\cdot\text{m} \] \[ = 22500 \, \text{N}\cdot\text{m} \]

Distance maximale (fibres extrêmes) :

\[ c = \frac{h}{2} = \frac{0.3}{2} = 0.15 \, \text{m} \]

Moment d’inertie : \( I = 0.0003375 \, \text{m}^4 \)

Calcul :

1. Calcul du numérateur :

\[ M \times c = 22500 \, \text{N}\cdot\text{m} \times 0.15 \, \text{m} \] \[ = 3375 \, \text{N}\cdot\text{m}^2 \]

2. Calcul de la contrainte :

\[ \sigma_{\text{ext}} = \frac{3375 \, \text{N}\cdot\text{m}^2}{0.0003375 \, \text{m}^4} \] \[ \sigma_{\text{ext}} = 10\,000\,000 \, \text{N/m}^2 \]

Résultat : La contrainte en fibres extrêmes est \( \sigma_{\text{ext}} = 10\,000\,000 \, \text{N/m}^2 \) soit \( 10 \, \text{MPa} \).

4. Calcul de la contrainte en fibres intermédiaires \( \sigma_{\text{int}} \)

Pour déterminer la contrainte en un point intermédiaire situé à une distance \( y \) de l’axe neutre, on utilise la même relation que pour la contrainte maximale. Par exemple, en choisissant \( y = \frac{h}{4} \) (c’est-à-dire à mi-chemin entre l’axe neutre et la fibre extrême).

Formule :

\[ \sigma = \frac{M \times y}{I} \]

Données :

Moment fléchissant maximal converti : \( M = 22500 \, \text{N}\cdot\text{m} \)
Distance choisie :

\[ y = \frac{h}{4} = \frac{0.3}{4} = 0.075 \, \text{m} \]

Moment d’inertie : \( I = 0.0003375 \, \text{m}^4 \)

Calcul :

1. Calcul du numérateur :

\[ M \times y = 22500 \, \text{N}\cdot\text{m} \times 0.075 \, \text{m} \] \[ = 1687.5 \, \text{N}\cdot\text{m}^2 \]

2. Calcul de la contrainte intermédiaire :

\[ \sigma_{\text{int}} = \frac{1687.5 \, \text{N}\cdot\text{m}^2}{0.0003375 \, \text{m}^4} \] \[ \sigma_{\text{int}} = 5\,000\,000 \, \text{N/m}^2 \]

Résultat : La contrainte en fibres intermédiaires est \( \sigma_{\text{int}} = 5\,000\,000 \, \text{N/m}^2 \) soit \( 5 \, \text{MPa} \).

Réflexion Supplémentaire

Variation de la distribution de contrainte :

La distribution des contraintes dans une poutre en flexion est linéaire.

Au centre de la section (l’axe neutre), la contrainte est nulle.
Les contraintes augmentent linéairement en s’éloignant de l’axe neutre pour atteindre leur valeur maximale aux fibres extrêmes.

Implications sur le choix du matériau et le design de la poutre :

Sélection du matériau : Le matériau doit avoir une résistance à la traction et une limite d’élasticité suffisamment élevées pour supporter la contrainte maximale aux fibres extrêmes.
Dimensionnement de la section : Pour diminuer les contraintes, il est souvent avantageux d’augmenter la hauteur de la section transversale, car le moment d’inertie dépend de \( h^3 \).
Sécurité et performance : Une connaissance précise de la distribution des contraintes permet d’optimiser la forme et les dimensions de la poutre, assurant ainsi une performance structurelle adéquate tout en respectant les normes de sécurité.

Contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires

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