Calcul de la contrainte tangentielle

Calcul de la contrainte tangentielle

Comprendre le calcul de la contrainte tangentielle

  • Une poutre en acier, encastrée à une extrémité, est soumise à un chargement uniformément réparti le long de sa longueur.
  • Longueur de la poutre (L) : 6 mètres.
  • Largeur de la poutre (b) : 0,15 mètres.
  • Hauteur de la poutre (h) : 0,30 mètres.
  • Module d’élasticité de l’acier (E) : 210 GPa.
  • Charge répartie (w) : 5 kN/m.
  • La poutre a une section transversale rectangulaire.

Questions :

  1. Calcul de la réaction au support : Déterminez les réactions aux appuis de la poutre.
  2. Moment Fléchissant (M) : Calculez le moment fléchissant maximal dans la poutre.
  3. Contrainte Tangentielle (τ) : Utilisez la formule de la contrainte de cisaillement pour calculer la contrainte tangentielle maximale dans la poutre.

Correction : calcul de la contrainte tangentielle

1. Calcul de la Réaction au Support :

  • Avec une charge uniformément répartie \( w = 5 \, \text{kN/m} \) sur une longueur \( L = 6 \, \text{m} \), la charge totale \( W \) sur la poutre est

\[ W = w \times L \] \[ W = 5 \times 6 = 30 \, \text{kN} \].

  • Pour une poutre encastrée à une extrémité, la réaction au support est égale à la charge totale, donc la réaction au support est de \( 30 \, \text{kN} \).

2. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (M) :

  • Le moment fléchissant maximal dans une poutre encastrée sous une charge uniformément répartie se produit au point d’encastrement.

La formule pour calculer ce moment est

\[ M = \frac{w \times L^2}{2} \] \[ M = \frac{5 \times 6^2}{2} = 90 \, \text{kN.m} \]

3. Calcul de la Contrainte Tangentielle (τ) :

a. Moment d’inertie (I) :

  • Formule :

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]

  • Calcul :

\[ I = \frac{0.15 \times 0.3^3}{12} \] \[ I = 0.0003375 \, \text{m}^4 \]

b. Force de cisaillement (V) :

Étant donné que la poutre est encastrée, la force de cisaillement \( V \) est égale à la réaction au support.

Valeur : \( V = 30000 \, \text{N} \) (car la réaction au support est de 30 kN)

c. Moment statique (Q) :

Pour une section transversale rectangulaire et en calculant au centre de la hauteur de la poutre :

  • Formule:

\[ Q = A \times y \]

\[ A = b \times \frac{h}{2} \]
et
\[ y = \frac{h}{2} \]

  • Calcul:

\[ A = 0.15 \times \frac{0.3}{2} = 0.0225 \, \text{m}^2 \]
\[ y = \frac{0.3}{2} = 0.15 \, \text{m} \]
\[ Q = 0.0225 \times 0.15 = 0.003375 \, \text{m}^3 \]

d. Calcul de la Contrainte Tangentielle (\(\tau\))

  • Formule:

\[ \tau = \frac{V \cdot Q}{I \cdot b} \]

  • Calcul:

\[ \tau = \frac{30000 \times 0.003375}{0.0003375 \times 0.15} \] \[ \tau = 2,000,000 \, \text{Pa} = 2 \, \text{MPa} \]

Conclusion

La contrainte tangentielle calculée dans la poutre est de \(2 \, \text{MPa}\). Cette valeur indique la contrainte de cisaillement maximale au centre de la hauteur de la poutre sous la charge donnée, ce qui est crucial pour la conception et l’analyse structurelle des poutres en acier.

Calcul de la contrainte tangentielle

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