Cercle de Mohr : Exercice – Corrigé
Contexte de calcul
Une poutre est soumise à des contraintes plane. À un certain point de cette poutre, les contraintes normales sur les faces horizontales et verticales sont \[ \sigma_x = 8 \text{ MPa} \] et \[ \sigma_y = 4 \text{ MPa} \] respectivement. La contrainte de cisaillement sur le plan horizontal est \[ \tau_{xy} = 3 \text{ MPa} \] (dans le sens positif en tournant dans le sens contraire des aiguilles d’une montre).
- Représentez ces contraintes sur un élément de stress.
- Calculez le rayon et le centre du Cercle de Mohr.
- Déterminez les contraintes principales.
- Trouvez les angles d’orientation de ces contraintes principales.
Correction du cercle de mohr
1. Représentation des Contraintes:
Sur la face horizontale, la contrainte normale est de \(8 \text{ MPa}\) vers la droite et la contrainte de cisaillement est de \(3 \text{ MPa}\) vers le haut.
Sur la face verticale, la contrainte normale est de \(4 \text{ MPa}\) vers le haut et la contrainte de cisaillement est de \(3 \text{ MPa}\) vers la droite.
2. Centre et Rayon du Cercle de Mohr:
Le centre du cercle, \(C\), est donné par :
\[ C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \] \[ C = \frac{8 \text{ MPa} + 4 \text{ MPa}}{2} \] \[ C = 6 \text{ MPa} \]
Le rayon du cercle, \(R\), est :
\[ R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x – \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \] \[ R = \sqrt{2^2 + 3^2} \] \[ R = \sqrt{13} \text{ MPa} \] \[ R \approx 3.61 \text{ MPa} \] \[ R \approx 3.61 \text{ MPa} \]
3. Contraintes Principales:
\[ \sigma_1 = C + R \] \[ \sigma_1 = 6 \text{ MPa} + 3.61 \text{ MPa} \] \[ \sigma_1 = 9.61 \text{ MPa} \]
\[ \sigma_2 = C – R \] \[ \sigma_2 = 6 \text{ MPa} – 3.61 \text{ MPa} \] \[ \sigma_2 = 2.39 \text{ MPa} \]
4. Angles d’Orientation:
L’angle d’orientation, \(2\theta_p\), est donné par:
\[ 2\theta_p = \tan^{-1}\left(\frac{\tau_{xy}}{\frac{\sigma_x – \sigma_y}{2}}\right) \] \[ 2\theta_p = \tan^{-1}\left(\frac{3}{2}\right) \]
\[ 2\theta_p \approx 56.31^\circ \]
Ainsi, \[ \theta_p \approx 28.16^\circ \]
illustrations graphiques à la correction
élément de stress
Cercle de mohr
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