Calcul de la contrainte de cisaillement

Calcul de la contrainte de cisaillement

Comprendre le Calcul de la contrainte de cisaillement

Un bureau d’études en génie civil travaille sur la conception d’un pont piétonnier. La structure du pont est simplifiée à une poutre en acier de longueur L posée sur deux appuis simples (A et B) situés respectivement à chaque extrémité de la poutre.

La poutre doit supporter une charge uniformément répartie q (en N/m) due au poids des piétons ainsi qu’une charge concentrée P (en Newtons) située à une distance a de l’appui A.

Données:

  • Longueur de la poutre, L = 10 m
  • Charge uniformément répartie, q = 5 kN/m
  • Charge concentrée, P = 25 kN
  • Distance de la charge concentrée de l’appui A, a = 4 m

Hypothèses:

  • La poutre est considérée comme un élément linéaire, sans poids propre.
  • Les appuis en A et B permettent des rotations libres et n’offrent pas de résistance au moment fléchissant.
  • Négligez les effets de flexion dans le calcul de la contrainte de cisaillement.
    Calcul de la contrainte de cisaillement

    Questions:

    1. Calcul des réactions d’appui en A et B:

    • Déterminez les réactions d’appui en A et B en considérant les équilibres verticaux et le moment autour de l’un des appuis.

    2. Calcul de la contrainte de cisaillement:

    • Calculez la contrainte de cisaillement à une section située à x = 3 m de l’appui A.
    • Pour cet exercice, considérez que l’aire de la section transversale de la poutre est de 0.02 m².

    Correction : Calcul de la contrainte de cisaillement

    1. Calcul des Réactions d’Appui en A et B

    • La réaction verticale due à la charge uniformément répartie est:

    \[ = q \times L \] \[ = 5 \, \text{kN/m} \times 10 \, \text{m} = 50 \, \text{kN} \], agissant au milieu de la poutre, soit à 5 m de chaque appui.

    • La charge concentrée P est de 25 kN, située à 4 m de l’appui A.

    Pour trouver les réactions d’appui, nous équilibrerons les moments autour de l’appui B (pour trouver RA) et autour de l’appui A (pour trouver RB), puis vérifierons l’équilibre vertical.

    Moment autour de B :

    \[ \Sigma M_B = 0 = R_A \times L – q \times L \times \frac{L}{2} – P \times (L – a) \] \[ 0 = R_A \times 10 – 50 \times 5 – 25 \times (10 – 4) \] \[ R_A = \frac{50 \times 5 + 25 \times 6}{10} \] \[ R_A = \frac{400}{10} = 40 \, \text{kN} \]

    Moment autour de A :

    Nous utilisons l’équilibre vertical pour trouver RB :

    \[ \Sigma F_y = 0 = R_A + R_B – q \times L – P \] \[ R_B = q \times L + P – R_A \] \[ R_B = 50 + 25 – 40 = 35 \, \text{kN} \]

    2. Calcul de la Contrainte de Cisaillement à x = 3 m

    Calcul de la force de cisaillement V à x = 3 m

    Pour x = 3 m, la force de cisaillement V dans la section est due à la réaction d’appui en A moins la charge uniformément répartie agissant sur cette section de 3 m.

    \[ V = R_A – q \times x \] \[ V = 40 \, \text{kN} – 5 \, \text{kN/m} \times 3 \, \text{m} \] \[ V = 40 \, \text{kN} – 15 \, \text{kN} \] \[ V = 25 \, \text{kN} \]

    Calcul de la contrainte de cisaillement \(\tau\)

    • L’aire de la section transversale A = 0.02 m².

    \[ \tau = \frac{V}{A} = \frac{25 \, \text{kN}}{0.02 \, \text{m}^2} \] \[ \tau = \frac{25000 \, \text{N}}{0.02 \, \text{m}^2} \] \[ \tau = 1250000\, \text{N/m}^2 \] \[ \tau = 1250 \, \text{kPa} \]

    Conclusion:

    Les réactions d’appui sont RA = 40 kN et RB = 35 kN, montrant que les réactions d’appui ne sont pas égales.

    À une distance de 3 m de l’appui A, la contrainte de cisaillement dans la poutre est de 1250 kPa.

    Diagramme de cisaillement

    Calcul de la contrainte de cisaillement

    Calcul de la contrainte de cisaillement

    D’autres exercices de Rdm:

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    Cordialement, EGC – Génie Civil

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