Dimensionnement d’une Longrine

Dimensionnement d’une Longrine

Comprendre le dimensionnement d’une longrine

Vous devez concevoir une longrine en béton armé pour un petit bâtiment industriel. La longrine doit répartir les charges de trois poteaux alignés qui supportent la structure du toit. Les poteaux sont espacés de 5 mètres l’un de l’autre.

Données:

  • Charge permanente (G) sur chaque poteau: 150 kN
  • Charge d’exploitation (Q) sur chaque poteau: 100 kN
  • Qualité du sol: Argile moyennement ferme
  • Contrainte admissible du sol: 150 kPa
  • Béton: C25/30
  • Acier: Fe500
  • Coefficients de sécurité: γG = 1.35, γQ = 1.5
  • Dimensions initiales proposées pour la longrine (hauteur x largeur): 0.5m x 0.6m

Hypothèses simplificatrices:

  • La longrine est considérée comme simplement appuyée entre les poteaux.
  • Négligez le poids propre de la longrine dans le calcul des réactions d’appui.
  • Considérez que les charges sont appliquées au centre des poteaux.

Travail demandé:

  1. Calculez les charges totales appliquées à la longrine.
  2. Déterminez les moments fléchissants maximaux dans la longrine.
  3. Vérifiez si la section proposée de la longrine est suffisante pour résister au moment fléchissant maximum. Utilisez les formules de dimensionnement des sections rectangulaires en flexion simple.
  4. Déterminez les dimensions minimales requises de la longrine si la section initiale n’est pas suffisante.
  5. Proposez une disposition et un diamètre minimal pour les aciers longitudinaux (armatures) en respectant les règles de l’Eurocode 2 pour le béton armé.
  6. Calculez les réactions d’appui aux extrémités de la longrine et vérifiez la contrainte du sol sous les fondations correspondantes.

Correction de Dimensionnement d’une Longrine

Étape 1 : Calcul des charges totales appliquées à la longrine

Nous avons deux types de charges : la charge permanente G et la charge d’exploitation Q.

Pour chaque poteau, la charge totale est obtenue en utilisant les coefficients de sécurité:

    \[F_{\text{totale,poteau}} = \gamma_G \times G + \gamma_Q \times Q\]

F_{\text{totale,poteau}} = 1.35 \times 150 + 1.5 \times 100

    \[F_{\text{totale,poteau}} = 202.5 + 150\]

    \[F_{\text{totale,poteau}} = 352.5 \text{ kN}\]

Comme il y a trois poteaux, la charge totale sur la longrine sera:

    \[F_{\text{totale,longrine}} = 3 \times F_{\text{totale,poteau}}\]

    \[F_{\text{totale,longrine}} = 3 \times 352.5\]

    \[F_{\text{totale,longrine}} = 1057.5 \text{ kN}\]

Étape 2 : Détermination des moments fléchissants maximaux

    \[M_{\text{max}} = \frac{F_{\text{totale,poteau}} \times l}{4}\]

    \[M_{\text{max}} = \frac{352.5 \times 5}{4}\]

    \[M_{\text{max}} = \frac{1762.5}{4}\]

    \[M_{\text{max}} = 440.625 \text{ kNm}\]

Étape 3 : Vérification de la section de la longrine

    \[M_{\text{Rd}} = \frac{z \cdot f_{cd} \cdot b \cdot d^2}{2}\]

Où:

f_{cd} est la résistance en compression du béton, prenons

    \[f_{cd} = 0.85 \times \frac{f_{ck}}{\gamma_c}, \text{ avec } \]

    \[ f_{ck} = 25 \text{ MPa et } \]

    \[ \gamma_c = 1.5 \text{ (facteur de sécurité du béton).}\]

b est la largeur de la section, b = 0.6 m.

d est la distance utile, prenons d = 0.5 m – couvrement (disons 25 mm) – diamètre des armatures (disons 16 mm / 2).

z est le bras de levier des forces internes, z = 0.9 \times d.

Calculons d’abord d et f_{cd}:

    \[d = 0.5 - 0.025 - 0.008 = 0.467 \text{ m}\]

    \[f_{cd} = 0.85 \times \frac{25}{1.5} \approx 14.17 \text{ MPa}\]

Ensuite, calculons M_{\text{Rd}}:

M_{\text{Rd}} = \frac{14.17 \times 10^3 \times 0.6 \times (0.467)^2}{0.9 \times 0.467}

    \[M_{\text{Rd}} \approx 962.55 \text{ kNm}\]

Comparons M_{\text{max}} et M_{\text{Rd}}:

    \[M_{\text{max}} = 440.625 \text{ kNm}\]

    \[M_{\text{Rd}} \approx 962.55 \text{ kNm}\]

La section de la longrine est suffisante car M_{\text{Rd}} > M_{\text{max}}.

Étape 4 : Dimensionnement des aciers longitudinaux

Si la section initiale n’était pas suffisante, nous devrions augmenter la hauteur et/ou la largeur de la longrine, choisir un béton de qualité supérieure, ou augmenter l’armature en acier. Mais puisque la section est suffisante, passons à l’étape suivante.

Étape 5 : Disposition et diamètre minimal des aciers

Selon l’Eurocode 2, on doit respecter un pourcentage minimal d’armature de 0.15% de la section de béton. Calculons le pourcentage d’armature requis:

    \[A_{s,\text{min}} = 0.0015 \times b \times h\]

    \[A_{s,\text{min}} = 0.0015 \times 0.6 \times 0.5\]

    \[A_{s,\text{min}} = 0.0015 \times 0.3\]

    \[A_{s,\text{min}} = 0.00045 \, \text{m}^2\]

Cela représente l’aire minimale des aciers requis. Choisissons des barres d’acier de diamètre 16 mm pour lesquelles l’aire est:

    \[A_{s,16\text{mm}} = \frac{\pi \times (0.016)^2}{4}\]

    \[A_{s,16\text{mm}} = 0.000201 \, \text{m}^2\]

Le nombre de barres nécessaires sera:

    \[n = \frac{A_{s,\text{min}}}{A_{s,16\text{mm}}}\]

    \[n = \frac{0.00045}{0.000201}\]

    \[n \approx 2.24\]

On arrondit donc au nombre entier supérieur, soit 3 barres de 16 mm.

Étape 6 : Calcul des réactions d’appui et vérification de la contrainte du sol

Les réactions d’appui pour une poutre simplement appuyée sont égales aux charges appliquées (si on néglige le poids de la longrine). Donc, à chaque appui:

    \[R = F_{\text{totale,poteau}} = 352.5 \, \text{kN}\]

Pour vérifier la contrainte du sol:

    \[\sigma = \frac{N}{A}\]

Supposons que la fondation ait une largeur de 1 m et une longueur égale à la largeur de la longrine:

    \[A = 1 \times 0.6 = 0.6 \, \text{m}^2\]

    \[\sigma = \frac{352.5 \times 10^3}{0.6}\]

    \[\sigma \approx 587.5 \, \text{kPa}\]

Ceci dépasse la contrainte admissible du sol (150 kPa). Nous devrions donc redimensionner les fondations pour répartir la charge sur une plus grande surface, ou renforcer le sol.

Cet exercice illustre les étapes de base du dimensionnement d’une longrine en béton armé. Dans la pratique, il faudrait considérer de nombreux autres facteurs et suivre les normes de construction précises, y compris les détails de l’Eurocode 2 pour le dimensionnement des éléments en béton armé.

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