Vérification de la Section de Précontrainte

Vérification de la Section de Précontrainte

Comprendre la Vérification de la Section de Précontrainte

Vous êtes ingénieur structure dans une entreprise de construction et devez concevoir une poutre en béton précontraint pour un nouveau projet de bâtiment.

Cette poutre doit supporter un plancher de bureau, avec des charges permanentes et variables. La poutre sera précontrainte par post-tension pour améliorer sa capacité portante et limiter les déformations.

Données:

  • Longueur de la poutre, : 10 m
  • Largeur de la poutre, : 300 mm
  • Hauteur de la poutre, : 500 mm
  • Charge permanente (G), incluant le poids propre de la poutre: 5 kN/m
  • Charge variable (Q), représentant les charges d’exploitation (mobilier, personnes, équipements): 3 kN/m
  • Contrainte admissible en compression du béton, : 32 MPa
  • Contrainte admissible en traction du béton, : 3.2 MPa
  • Module d’élasticité du béton, : 25 GPa
  • Contrainte admissible de l’acier de précontrainte, : 1,860 MPa
  • Module d’élasticité de l’acier de précontrainte, : 195 GPa
  • Coefficient de sécurité pour les charges permanentes et variables: 1.5
  • Coefficient de perte de précontrainte (due au fluage, au retrait du béton, et aux relaxations de l’acier): 15%

Questions:

  1. Calcul de la charge totale appliquée sur la poutre: Déterminer la charge totale due aux charges permanentes et variables, en tenant compte du coefficient de sécurité.
  2. Calcul du moment fléchissant maximal: Calculer le moment fléchissant maximal () que la poutre doit supporter.
  3. Conception de la précontrainte:
    • Calculer la force de précontrainte initiale requise () pour limiter les déformations et les contraintes dans le béton.
    • Déterminer la force de précontrainte effective () en tenant compte des pertes de précontrainte.
  4. Vérification de la section:
    • Vérifier que les contraintes dans le béton (compression et traction) sous les charges combinées (permanentes, variables et précontrainte) sont inférieures aux contraintes admissibles.
    • S’assurer que la déformation de la poutre reste dans les limites acceptables.

Correction : Vérification de la Section de Précontrainte

1. Calcul de la charge totale appliquée sur la poutre

Les charges permanentes et variables, une fois combinées avec le coefficient de sécurité, donnent la charge totale appliquée par unité de longueur sur la poutre.

  • Charge permanente G : 5 kN/m
  • Charge variable Q : 3 kN/m
  • Coefficient de sécurité : 1.5

\[ W = 1.5 \times (G + Q) \] \[ W = 1.5 \times (5 + 3) \] \[ W = 1.5 \times 8 = 12\ \text{kN/m} \]

2. Calcul du moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\)

Pour une poutre simplement appuyée et chargée uniformément, le moment fléchissant maximal se produit au milieu de la portée et est donné par la formule :

\[ M_{\text{max}} = \frac{W \times L^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{12 \times 10^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{1200}{8} = 150\ \text{kNm} \]

3. Conception de la précontrainte

a) Calcul de la force de précontrainte initiale \(P_i\)

  • Contrainte admissible en traction du béton, \( \sigma_t = 3.2\ \text{MPa} \)
  • Aire de la section transversale du béton, \( A_c = b \times h = 0.3 \times 0.5 = 0.15\ \text{m}^2 \)

\[ P_i = \sigma_t \times A_c \] \[ P_i = 3.2 \times 10^6 \times 0.15 \] \[ P_i = 480,000\ \text{N} = 480\ \text{kN} \]

b) Calcul de la force de précontrainte effective \(P_e\)

\[ P_e = P_i \times (1 – \text{Coefficient de perte}) \] \[ P_e = 480 \times (1 – 0.15) \] \[ P_e = 480 \times 0.85 = 408\ \text{kN} \]

4. Vérification de la section

a) Contraintes dans le béton

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \] \[ I = \frac{0.3 \times 0.5^3}{12} \] \[ I = 0.003125\ \text{m}^4 \]

La contrainte au niveau des fibres les plus comprimées (à la base de la poutre) :

\[ \sigma_c = \frac{P_e}{A_c} + \frac{M_{\text{max}} \times h/2}{I} \] \[ = \frac{408 \times 10^3}{0.15} + \frac{150 \times 10^3 \times 0.25}{0.003125} \] \[ \sigma_c = 14.72\ \text{MPa} \]

b) Déformation de la poutre

\( E_c = 25\ \text{GPa} = 25 \times 10^9\ \text{Pa},\ I = 0.003125\ \text{m}^4 \)

La déformation maximale sous la charge totale :

\[ \Delta_{\text{max}} = \frac{5WL^4}{384EI} \] \[ = \frac{5 \times 12000 \times 10^4}{384 \times 25 \times 10^9 \times 0.003125} \] \[ \Delta_{\text{max}} = 0.02\ \text{m} = 20\ \text{mm} \]

Comparaison de la Déformation de la Poutre avec les Normes de Construction

Eurocode 2:

L’Eurocode 2 spécifie que la flèche limite \(\delta_{\text{lim}}\) pour une poutre ou un plancher, sous l’effet des charges permanentes et variables, ne doit généralement pas excéder \(\frac{L}{250}\), où \(L\) est la portée de la poutre ou du plancher.

Pour notre poutre de 10 mètres de longueur :

\[ \delta_{\text{lim}} = \frac{L}{250} \] \[ \delta_{\text{lim}} = \frac{10\,000\,mm}{250} \] \[ \delta_{\text{lim}} = 40\,mm \]

ACI:

L’ACI recommande également des limites similaires pour la déformation, avec des critères qui peuvent varier légèrement en fonction de l’utilisation spécifique de la structure et de la sensibilité aux déformations.

La limite de \(\frac{L}{360}\) pour les planchers destinés au support de matériaux inélastiques est une autre référence courante, qui serait plus stricte que celle de l’Eurocode pour certaines applications.

Comparaison:

La déformation maximale de la poutre calculée dans notre exercice est de 20 mm. En comparant cette valeur avec la limite définie par l’Eurocode 2 :

  • Déformation calculée : 20 mm
  • Limite selon l’Eurocode 2 : 40 mm

La déformation de la poutre est donc bien en dessous de la limite acceptée par l’Eurocode 2, ce qui indique que la poutre satisfait aux exigences de serviceabilité en termes de flèche sous les charges appliquées.

Cette conclusion renforce la viabilité de la conception précontrainte proposée, en démontrant non seulement sa capacité à supporter les charges de manière sécuritaire mais aussi à maintenir des niveaux de déformation dans les limites confortables pour l’utilisation prévue de la structure.

Vérification de la Section de Précontrainte

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