Dimensionnement d’un tirant en béton armé

Dimensionnement d’un tirant en béton armé

Comprendre le Dimensionnement d’un tirant en béton armé

Vous êtes ingénieur en génie civil et vous devez dimensionner un tirant en béton armé pour un projet de construction d’un pont.

Votre tâche consiste à déterminer les dimensions et l’armature nécessaires pour garantir la sécurité et la résistance du tirant.

Données:

  • Charge axiale sur le tirant : \( F = 1000 \, \text{kN} \).
  • Type de béton utilisé : Béton de classe C30/37.
  • Résistance caractéristique du béton à la compression : \( f_{ck} = 30 \, \text{MPa} \).
  • Résistance caractéristique de l’acier d’armature : \( f_{yk} = 500 \, \text{MPa} \).
  • Coefficients de sécurité :
    Béton (\( \gamma_c = 1.5 \)).
    Acier (\( \gamma_s = 1.15 \)).
  • Coefficient de réduction pour les charges : \( \gamma_q = 1.35 \).
  • Rapport d’armature minimal : \( \rho_{min} = 0.2\% \).
  • Rapport d’armature maximal : \( \rho_{max} = 4\% \).
  • Longueur du tirant : \( L = 3 \, \text{m} \).

Questions:

1. Calcul de la section brute minimale du béton

2. Détermination de l’armature minimale

3. Vérification de la résistance ultime du tirant

Correction : Dimensionnement d’un tirant en béton armé

1. Calcul de la section brute minimale du béton

La première étape consiste à déterminer la section minimale du béton qui pourra supporter la charge axiale appliquée, en tenant compte des coefficients de sécurité.

  • Calcul de la charge facturée

La charge facturée est obtenue en multipliant la charge axiale par le coefficient de réduction pour les charges.

\[ F_{fact} = F \times \gamma_q \] \[ F_{fact} = 1000 \, \text{kN} \times 1.35 \] \[ F_{fact} = 1350 \, \text{kN} \]

  • Calcul de la section brute minimale du béton

Utilisez la résistance caractéristique du béton à la compression, corrigée par le coefficient de sécurité du béton.

\[ \sigma_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c} \] \[ \sigma_{cd} = \frac{30 \, \text{MPa}}{1.5} \] \[ \sigma_{cd} = 20 \, \text{MPa} \]

La section minimale du béton est donnée par :

\[ A_{min} = \frac{F_{fact}}{\sigma_{cd}} \] \[ A_{min} = \frac{1350 \, \text{kN}}{20 \, \text{MPa}} \] \[ A_{min} \approx 67.5 \, \text{cm}^2 \]

  • Dimensions approximatives de la section transversale

Pour une section carrée :

\[ c = \sqrt{67.5} \approx 8.21 \, \text{cm} \]

Vous pouvez choisir une section carrée d’au moins 9 cm de côté.

2. Détermination de l’armature minimale

Ensuite, il faut déterminer le diamètre minimal des barres d’armature et le nombre minimal de barres nécessaires, en tenant compte du rapport d’armature minimal.

  • Calcul du rapport d’armature minimal

\[ \rho_{min} = 0.002 \]

La section minimale d’acier requise est alors :

\[ A_s = \rho_{min} \times A_{min} \] \[ A_s  \approx 0.002 \times 67.5 \] \[ A_s \approx 0.135 \, \text{cm}^2 \]

  • Calcul du diamètre minimal de l’acier d’armature

Utilisez la formule de la section d’une barre d’acier :

\[ A_s = \frac{\pi}{4} \times d^2 \]

Le diamètre minimal de l’acier est :

\[ d \approx \sqrt{\frac{4 \times 0.135}{\pi}} \] \[ d \approx 0.414 \, \text{cm} \]

Un diamètre standard de 10 mm convient pour les barres d’armature.

  • Nombre de barres d’armature nécessaires

Considérez un arrangement avec 4 barres d’armature. Le rapport d’armature serait :

\[ A_s = 4 \times \frac{\pi}{4} \times (1 \, \text{cm})^2 \] \[ A_s \approx 3.14 \, \text{cm}^2 \]

Le rapport d’armature serait :

\[ \rho = \frac{3.14}{67.5} \] \[ \rho \approx 0.0467 \approx 4.67\% \]

Ce qui respecte les rapports d’armature minimal et maximal (entre 0.2% et 4%).

3. Vérification de la résistance ultime du tirant

Utilisez la résistance caractéristique de l’acier d’armature corrigée par le coefficient de sécurité.

\[ \sigma_{sd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} \] \[ \sigma_{sd} \approx \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \] \[ \sigma_{sd} \approx 434.78 \, \text{MPa} \]

La résistance de l’acier d’armature est :

\[ R_s = A_s \times \sigma_{sd} \] \[ R_s \approx 3.14 \times 434.78 \] \[ R_s \approx 1365 \, \text{kN} \]

La résistance ultime est suffisante pour résister à la charge appliquée de 1350 kN.

Conclusion :

  • La section brute minimale du béton pour ce tirant doit être d’au moins 67.5 cm², avec des dimensions approximatives d’au moins 9 cm de côté.
  • Le rapport d’armature minimal est respecté avec 4 barres d’armature de 10 mm.
  • La résistance ultime du tirant est suffisante pour supporter la charge axiale facturée.

Dimensionnement d’un tirant en béton armé

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