Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint
Comprendre l’Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint
Concevoir une poutre en béton précontraint pour une application spécifique, en utilisant les méthodes de pré-tension et de post-tension, conformément aux Eurocodes.
pour comprendre le Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte, cliquez sur le lien.
Données de l’exercice :
- Application : Poutre de pont
- Portée de la poutre : 30 mètres
- Charge permanente (G) : 25 kN/m (y compris le poids de la poutre)
- Charge d’exploitation (Q) : 45 kN/m
- Matériau : Béton de classe C30/37, acier de précontrainte de classe 1570/1770
- Coefficient partiel de sécurité pour le béton (γc) : 1.5
- Coefficient partiel de sécurité pour l’acier (γs) : 1.15
Tâches :
- Analyse des Charges et Moments
- Calculer les charges totales sur la poutre.
- Déterminer les moments de flexion maximaux dus aux charges permanentes et d’exploitation.
- Conception de la Section en Béton
- Choisir une section transversale appropriée pour la poutre.
- Vérifier la résistance de la section au moment de flexion.
- Calcul de la Précontrainte
- Déterminer le niveau de précontrainte nécessaire pour contrôler les déformations et les contraintes dans le béton.
- Pour la pré-tension : Calculer la force initiale de précontrainte et les pertes de précontrainte dues à l’élasticité du béton, au fluage, au retrait, etc.
- Pour la post-tension : Définir le profil de câblage et calculer la force de précontrainte à appliquer.
- Vérifications selon Eurocode
- Vérifier la contrainte dans le béton et l’acier de précontrainte sous les combinaisons de charges ultimes et de service, selon les Eurocodes.
- Assurer que les contraintes et les déformations sont dans les limites permises.
- Dessin Technique
- Fournir un dessin technique de la poutre, indiquant la disposition des câbles de précontrainte, les dimensions de la section, et les armatures complémentaires si nécessaire.
Correction : Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint
1. Analyse des Charges et Moments
Données:
- Portée de la poutre \(L = 30\) mètres,
- Charge permanente \(G = 25\) kN/m,
- Charge d’exploitation \(Q = 45\) kN/m.
Calculs:
- Charge totale sur la poutre:
\[ W = G + Q \] \[ W = 25 + 45 \] \[ W = 70 \text{ kN/m} \]
- Moment de flexion maximal:
\[ M_{\text{max}} = \frac{W \times L^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{70 \times 30^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 7875 \text{ kNm} \]
Résultat:
- Moment maximal à supporter par la poutre: \(7875\) kNm.
2. Conception de la Section en Béton
Données:
- \( \text{Béton} C30/37\),
- \(M_{\text{max}} = 7875\) kNm
- \(\text{Section proposée}\): \(1\) m x \(1.5\) m.
Calculs:
Résistance de la section au moment de flexion, en considérant \(b = 1\) m, \(h = 1.5\) m.
La profondeur effective \(d\) est généralement prise à \(0.9 \times h\). Ainsi, pour notre section:
\[ d = 0.9 \times 1.5 = 1.35 \text{ m} \]
La résistance de la section au moment de flexion \(M_{Rd}\) peut être calculée en utilisant la formule suivante pour le béton armé selon les Eurocodes:
\[ M_{Rd} = \frac{f_{ck} \times b \times d^2}{\gamma_c} \]
où \(f_{ck}\) est la résistance caractéristique du béton en MPa, et \(\gamma_c\) est le coefficient partiel de sécurité pour le béton.
Pour un béton de classe C30/37, \(f_{ck} = 30\)
\[ M_{Rd} = \frac{30 \times 1 \times (1.35)^2}{1.5} \] \[ M_{Rd} = 40.95 \text{ kNm} \]
Note: La profondeur effective \(d\) est ajustée pour mieux représenter une pratique courante de conception.
Résultat:
La section choisie n’est pas suffisante pour résister au moment maximal; une révision de la dimension ou du type de béton est nécessaire.
3. Calcul de la Précontrainte
Données:
- Acier de précontrainte de classe 1570/1770.
Calculs:
- Force de précontrainte initiale:
\[ P_{\text{initiale}}= \frac{M_{\text{max}}}{j \times d} \] \[ P_{\text{initiale}} = \frac{7875}{0.9 \times 1.35} \] \[ P_{\text{initiale}}= 6473 \text{ kN} \]
- Perte de précontrainte estimée à 20%:
\[ P_{\text{effective}} = 0.8 \times P_{\text{initiale}} \] \[ P_{\text{effective}} = 0.8 \times 6473 \] \[ P_{\text{effective}} = 5178 \text{ kN} \]
Résultat:
- Force de précontrainte initiale requise: \(6473\) kN.
- Force effective après pertes: environ \(5178\) kN.
4. Vérifications selon Eurocode
Calculs:
- Contrainte dans le béton:
Détermination du module de section (Section modulaire) \(Z\):
\[ Z = \frac{b \times d^2}{6} \] \[ Z = \frac{1 \times (1.35)^2}{6} \] \[ Z = 0.305 \text{ m}^3 \]
- Calcul de la contrainte dans le béton \(\sigma_{béton}\):
\[ \sigma_{béton} = \frac{M_{\text{max}} \times 10^6}{Z \times 10^9} \] \[ \sigma_{béton} = \frac{7875 \times 10^6}{0.305 \times 10^9} \] \[ \sigma_{béton} = 25.82 \text{ MPa} \]
- Contrainte dans l’acier:
Section de l’acier \(A = 100 \text{ mm}^2\),
Calcul de la contrainte dans l’acier \(\sigma_{acier}\):
\[ \sigma_{acier} = \frac{P_{\text{effective}} \times 10^3}{A \times 10^{-6}} \] \[ \sigma_{acier} = \frac{5178 \times 10^3}{100 \times 10^{-6}} \] \[ \sigma_{acier} = 517.8 \text{ MPa} \]
Résultat:
Les contraintes dans le béton et l’acier de précontrainte sont dans les limites permises par les normes Eurocode.
5. Dessin Technique
Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint
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