Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint

Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint

Comprendre l’Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint

Concevoir une poutre en béton précontraint pour une application spécifique, en utilisant les méthodes de pré-tension et de post-tension, conformément aux Eurocodes.

Données de l’exercice :

  • Application : Poutre de pont
  • Portée de la poutre : 30 mètres
  • Charge permanente (G) : 25 kN/m (y compris le poids de la poutre)
  • Charge d’exploitation (Q) : 45 kN/m
  • Matériau : Béton de classe C30/37, acier de précontrainte de classe 1570/1770
  • Coefficient partiel de sécurité pour le béton (γc) : 1.5
  • Coefficient partiel de sécurité pour l’acier (γs) : 1.15

Tâches :

  1. Analyse des Charges et Moments
    • Calculer les charges totales sur la poutre.
    • Déterminer les moments de flexion maximaux dus aux charges permanentes et d’exploitation.
  2. Conception de la Section en Béton
    • Choisir une section transversale appropriée pour la poutre.
    • Vérifier la résistance de la section au moment de flexion.
  3. Calcul de la Précontrainte
    • Déterminer le niveau de précontrainte nécessaire pour contrôler les déformations et les contraintes dans le béton.
    • Pour la pré-tension : Calculer la force initiale de précontrainte et les pertes de précontrainte dues à l’élasticité du béton, au fluage, au retrait, etc.
    • Pour la post-tension : Définir le profil de câblage et calculer la force de précontrainte à appliquer.
  4. Vérifications selon Eurocode
    • Vérifier la contrainte dans le béton et l’acier de précontrainte sous les combinaisons de charges ultimes et de service, selon les Eurocodes.
    • Assurer que les contraintes et les déformations sont dans les limites permises.
  5. Dessin Technique
    • Fournir un dessin technique de la poutre, indiquant la disposition des câbles de précontrainte, les dimensions de la section, et les armatures complémentaires si nécessaire.

Correction : Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint

1. Analyse des Charges et Moments

Données :

  • Portée de la poutre L = 30 m,
  • Charge permanente G = 25 kN/m,
  • Charge d’exploitation Q = 45 kN/m.

Calculs :

  • Charge totale sur la poutre :

    \[ W = G + Q \]

    \[ W = 25 + 45 = 70\,\text{kN/m} \]

  • Moment de flexion maximal :

    \[ M_{\text{max}} = \frac{W \times L^2}{8} \]

    \[ M_{\text{max}} = \frac{70 \times 30^2}{8} \]

    \[ M_{\text{max}} = 7875\,\text{kNm} \]

Résultats :

Moment maximal à supporter par la poutre : 7875 kNm.

2. Conception de la Section en Béton

Données :

Béton C30/37, M_{\text{max}} = 7875 kNm, Section proposée : 1m x 1.5m.

Calculs :

  • Résistance de la section :

    \[ M_{Rd} = \frac{f_{ck} \times b \times d^2}{\gamma_m} \]

    \[ M_{Rd} = \frac{30 \times 1 \times 1.5^2}{1.5} \]

    \[ M_{Rd} = 67.5 \,\text{kNm/m} \]

Résultats :

La section choisie n’est pas suffisante pour résister au moment maximal.

3. Calcul de la Précontrainte

Données :

Acier de précontrainte de classe 1570/1770.

Calculs :

  • Force de précontrainte initiale :

    \[ P_{\text{initiale}} = \frac{M_{\text{max}}}{j \times d} \]

    \[ P_{\text{initiale}} = \frac{7875}{0.8 \times 1.35} \]

    \[ P_{\text{initiale}} = 7296\,\text{kN} \]

  • Perte de précontrainte estimée à 20%.

Résultats :

  • Force de précontrainte initiale requise : 7296 kN.
  • Force effective après pertes : environ 5837 kN.

4. Vérifications selon Eurocode

Calculs :

  • Contrainte dans le béton :

    \[ \sigma_{\text{béton}} = \frac{M_{\text{max}}}{Z} \]

    \[ \sigma_{\text{béton}} = \frac{7875 \times 10^6}{0.375 \times 10^9} \]

    \[ \sigma_{\text{béton}} = 21\,\text{MPa} \]

  • Contrainte dans l’acier :

    \[ \sigma_{\text{acier}} = \frac{P_{\text{effective}}}{A} \]

    \[ \sigma_{\text{acier}} = \frac{5837 \times 10^3}{100 \times 10^{-6}} \]

    \[ \sigma_{\text{acier}} = 583.7\,\text{MPa} \]

Résultats :

  • Contrainte dans le béton est adéquate.
  • Contrainte dans l’acier de précontrainte est adéquate.

5. Dessin Technique

Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint

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