Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte

Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte

Comprendre le calcul de la section d’acier de précontrainte

Vous êtes chargé de concevoir une section de poutre en béton précontraint pour un pont piétonnier.

La poutre est précontrainte à l’aide de câbles post-tension. La poutre aura une portée simple avec une longueur de 20 mètres.

Voici les données initiales pour la conception :

  • Charge permanente (G) : 25 kN/m (incluant le poids propre de la poutre)
  • Charge d’exploitation (Q) : 10 kN/m
  • Résistance caractéristique à la compression du béton (f’c) : 40 MPa
  • Contrainte admissible en service pour le béton (σ_cb) : 12 MPa
  • Contrainte admissible en service pour l’acier de précontrainte (σ_pb) : 0.7 fois la résistance caractéristique de l’acier
  • Module d’élasticité du béton (E_c) : 30 GPa
  • Module d’élasticité de l’acier de précontrainte (E_p) : 195 GPa
  • Pertes immédiates de précontrainte dues à l’élasticité du béton (δ_pi) : 5%
  • Pertes différées de précontrainte (δ_pd) : 20% (comprenant les pertes dues au fluage, au retrait du béton et au relâchement de l’acier)
  • Coefficient de majoration des charges (γ_f) : 1.35 pour G et 1.5 pour Q

Consignes

  1. Calcul des Moments Fléchissants: Déterminez les moments fléchissants maximaux en service pour la charge permanente et la charge d’exploitation (G et Q).
  2. Force de Précontrainte Initiale: Calculez la force de précontrainte initiale nécessaire (P_i) pour compenser les moments fléchissants dus aux charges appliquées.
  3. Quantité d’Acier de Précontrainte: Déterminez la section d’acier de précontrainte requise (A_p) sachant que la contrainte initiale dans l’acier de précontrainte ne doit pas dépasser 75% de sa résistance caractéristique.

Correction : Calcul de la section d’acier de précontrainte

Données complémentaires pour l’exercice : 

  • Résistance caractéristique de l’acier de précontrainte (f_{p,k}): 1860 MPa
  • Coefficient partiel de sécurité pour l’acier de précontrainte (\gamma_{p}): 1.15
  • La contrainte initiale dans l’acier de précontrainte est limitée à 75% de sa limite élastique (f_{p,0.1k}).

Calculs Préliminaires

Résistance de calcul de l’acier de précontrainte :

    \[\sigma_{p,d} = 0.75 \times \frac{f_{p,k}}{\gamma_{p}} \approx 1213 \text{ MPa}\]

Calcul de la Force de Précontrainte Nécessaire

1. Moment fléchissant dû à la charge permanente (G) et d’exploitation (Q)}:

Pour une poutre simplement appuyée:

    \[M_{G+Q} = \frac{w_{\text{tot}} \times L^2}{8}\]

w_{\text{tot}} = G + Q, donc

    \[w_{\text{tot}} = 25 + 10 = 35 \text{ kN/m}\]

et

    \[M_{G+Q} = \frac{35 \text{ kN/m} \times (20 \text{ m})^2}{8} \]

    \[M_{G+Q} = 1750 \text{ kNm}\]

2. Force de Précontrainte Initiale} (P_i):

La force de précontrainte doit équilibrer le moment fléchissant dû aux charges permanentes et variables.

Supposons que l’on souhaite limiter cette contrainte à \sigma_{cb}:

    \[P_i = \frac{M_{G+Q}}{e}\]

e est l’excentricité de la précontrainte, choisie pour l’exemple à \frac{h}{6} (avec h hauteur de la section de la poutre).

Supposons que la hauteur h = 1.5 mètres:

    \[e = \frac{h}{6} = \frac{1.5}{6} = 0.25 \text{ m}\]

donc

    \[P_i = \frac{1750 \times 10^3 \text{ Nm}}{0.25 \text{ m}} = 7000 \text{ kN}\]

3. Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte

Pour trouver la section nécessaire de l’acier de précontrainte A_p, on utilise la contrainte admissible en service:

    \[A_p = \frac{P_i}{\sigma_{p,d}}\]

A_p = \frac{7000 \times 10^3 \text{ N}}{1213 \times 10^6 \text{ N/m}^2} \approx 5.77 \times 10^{-3} \text{ m}^2

    \[A_p \approx 5770 \text{ mm}^2\]

Résumé

La quantité d’acier de précontrainte nécessaire pour la poutre de pont piétonnier donnée dans cet exercice est d’environ 5770 mm², basée sur les contraintes calculées.

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