Poutre en Béton Précontraint

Poutre en Béton Précontraint

Contexte de l’étude d’une poutre en béton précontraint:

Vous travaillez en tant qu’ingénieur en génie civil pour la société ABC Structures. Le directeur du projet, M. Dupont, vous a attribué la responsabilité de dimensionner une poutre en béton précontraint pour le projet « Résidence Les Pins », un bâtiment résidentiel de 10 étages situé à Marseille.

Cette poutre sera soumise à des charges permanentes et des charges d’exploitation conformément aux normes de l’Eurocode 2.

Données :

  • Caractéristiques géométriques :
    • Portée de la poutre: 8 mètres
    • Largeur de la poutre: 300 mm
    • Hauteur de la poutre: 600 mm
  • Caractéristiques des matériaux :
    • Résistance caractéristique du béton (fck): 40 MPa
    • Résistance caractéristique de l’acier de précontrainte (fptk): 1770 MPa
    • Contrainte d’adhérence caractéristique (fbd): 0,7 fck
  • Charges :
    • Charge permanente (Gk): 15 kN/m
    • Charge d’exploitation (Qk): 20 kN/m

Calculs d’une poutre en béton précontraint

1. Détermination des charges

Charge totale G:

    \[ G = (G_k + Q_k) \times \text{portée} \]

    \[ = (15 + 20) \times 8 = 280 \, \text{kN} \]

2. Calcul des contraintes admissibles

Contrainte d’adhérence admissible \tau_{ad}:

    \[ \tau_{ad} = 0.7 \times 40 \, \text{MPa} \]

    \[ \tau_{ad} = 28 \, \text{MPa} \]

3. Calcul de la précontrainte

Contrainte admissible d’acier de précontrainte \sigma_{ptd}:

    \[ \sigma_{ptd} = 0.9 \times 1770 \, \text{MPa} = 1593 \, \text{MPa} \]

Précontrainte totale P:

    \[ P = G \times L^2 / 8 = 280 \times 8^2 / 8 \]

    \[ P  = 2240 \, \text{kN} \]

Surface de câbles requise A_{pt}:

    \[ A_{pt} = P / \sigma_{ptd} \]

    \[ A_{pt} = 2240 \times 1000 / 1593 \]

    \[ A_{pt} = 1407 \, \text{mm}^2 \]

4. Calcul de l’aire d’acier de précontrainte:

Supposons l’utilisation de câbles tendus à 7 torons de 15,7 mm de diamètre chacun.

Diamètre total des torons d:

    \[ d = 7 \times 15.7 \, \text{mm} = 109.9 \, \text{mm} \]

Aire d’acier totale A_{pt_{\text{total}}}:

    \[ A_{pt_{\text{total}}} = \pi \times (d^2 / 4) \times 7 \]

    \[ A_{pt_{\text{total}}} = \pi \times (109.9^2 / 4) \times 7 \]

    \[ A_{pt_{\text{total}}} = 23270 \, \text{mm}^2 \]

5. Vérification de l’aire d’acier:

    \[ A_{pt_{\text{total}}} \geq A_{pt} \]

    \[ 23270 \, \text{mm}^2 \geq 1407 \, \text{mm}^2 \]

(Vérification réussie)

6. Calcul des moments et contraintes:

Moment de flexion maximum M_{\text{max}}:

    \[ M_{\text{max}} = (Q_k \times L^2) / 8 \]

    \[ M_{\text{max}} = (20 \times 8^2) / 8 \]

    \[ M_{\text{max}} = 160 \, \text{kNm} \]

Contrainte maximale dans le béton \sigma_c:

    \[ \sigma_c = M_{\text{max}} / (b \times h^2 / 6) \]

    \[ \sigma_c = 160 \times 10^6 / (300 \times 600^2 / 6) \]

    \[ \sigma_c = 14.81 \, \text{MPa} \]

7. Vérification de la contrainte de flexion:

    \[ \sigma_c \leq 0.6 \times f_{ck} \]

    \[ 14.81 \, \text{MPa} \leq 0.6 \times 40 \, \text{MPa} \]

(Vérification réussie)

Conclusion :

La poutre en béton précontraint proposée pour le projet « Résidence Les Pins » satisfait aux critères de dimensionnement conformément à l’Eurocode 2.

Les contraintes admissibles dans l’acier de précontrainte, ainsi que la contrainte de flexion maximale dans le béton, sont toutes inférieures aux valeurs caractéristiques spécifiées par la norme.

Avant la mise en œuvre, il est recommandé de consulter les annexes nationales pour des spécifications supplémentaires liées au site de construction.

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