Poutre en Béton Précontraint
Comprendre le calcul de la poutre en béton précontraint
Vous êtes ingénieur(e) en structure au sein d’une société de construction. Votre projet actuel consiste à concevoir un pont routier qui comprend plusieurs poutres en béton précontraint pour supporter le tablier du pont.
Le pont doit permettre le passage d’une route à deux voies. Chaque poutre en béton précontraint doit être calculée pour garantir la sécurité et la durabilité de la structure du pont, tout en optimisant les coûts et en respectant les normes en vigueur.
Pour comprendre le Calcul de la force de précontrainte et le Calcul des Efforts en Béton Précontraint, cliquez sur les liens.
Données:
- Longueur de la poutre: \(L = 25\) m (distance entre les appuis)
- Largeur de la poutre: \(b = 0.5\) m
- Hauteur de la poutre: \(h = 1.2\) m
- Type de béton: C30/37
- Type d’acier de précontrainte: Y1860S7
- Force de précontrainte appliquée: \(P = 1500\) kN
- Charge permanente (incluant le poids propre): \(g = 25\) kN/m
- Charge d’exploitation: \(q = 10\) kN/m
- Coefficient partiel de sécurité pour le béton: \(\gamma_c = 1.5\)
- Coefficient partiel de sécurité pour l’acier: \(\gamma_s = 1.15\)
- Déformation immédiate: (\(\varepsilon_{immediate}\)) = 500 microstrains
- Coefficient de fluage: (\(\phi\)) = 2
Questions:
1. Calcul du moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\):
Déterminer le moment fléchissant maximal induit par les charges permanentes et d’exploitation en utilisant la théorie des poutres sur deux appuis simples. Considérer l’effet combiné de la charge permanente et de la charge d’exploitation.
2. Calcul de la contrainte initiale dans le béton due à la précontrainte:
Calculer la contrainte initiale dans la section de béton la plus éloignée de l’axe de précontrainte en considérant la force de précontrainte appliquée et les dimensions de la poutre.
3. Vérification à l’état limite ultime (ELU):
Vérifier que la poutre satisfait les conditions de résistance à l’état limite ultime en utilisant les moments fléchissants calculés et les contraintes dans le béton et dans l’acier. Utiliser les coefficients de sécurité appropriés pour le béton et l’acier.
4. Calcul des déformations à long terme:
Estimer les déformations à long terme de la poutre dues au fluage du béton. Utiliser les caractéristiques du matériau béton et l’effet de la précontrainte pour évaluer l’influence du fluage sur les déformations.
Correction : poutre en béton précontraint
1. Calcul du moment fléchissant maximal \(M_{\max}\)
On considère la poutre isostatique (sur deux appuis simples) soumise à une charge uniformément répartie résultant de la combinaison des charges permanente (\(g\)) et d’exploitation (\(q\)).
Le moment fléchissant maximal pour une poutre simplement appuyée sous charge uniformément répartie \(w\) est donné par :
\[ M_{\max} = \frac{w \, L^2}{8} \]
où :
- \(w\) = charge totale (kN/m)
- \(L\) = portée de la poutre (m)
Formule:
\[ M_{\max} = \frac{(g + q)\; L^2}{8} \]
Données:
- \(L = 25 \, \text{m}\)
- \(g = 25 \, \text{kN/m}\)
- \(q = 10 \, \text{kN/m}\)
Calcul:
1. Charge totale :
\[ w = g + q \] \[ w = 25 + 10 \] \[ w = 35 \, \text{kN/m} \]
2. Moment fléchissant maximal :
\[ M_{\max} = \frac{35 \times 25^2}{8}
\] \[ M_{\max} = \frac{35 \times 625}{8}
\] \[ M_{\max} = \frac{21875}{8}
\] \[ M_{\max} = 2734.375 \, \text{kN}\cdot\text{m} \] \[ M_{\max} \approx 2734 \,\text{kN}\cdot\text{m} \]
Remarque : Ce moment est la valeur caractéristique (SLS). Pour la vérification à l’ELU, on tiendra compte des coefficients de sécurité sur les charges (voir section 3).
2. Calcul de la contrainte initiale dans le béton due à la précontrainte
La contrainte initiale moyenne dans le béton (en section brute, sans excentricité considérée si l’on suppose une précontrainte concentrique) se calcule en divisant la force de précontrainte par l’aire de la section en béton.
Formule:
\[ \sigma_{cp,\,\text{initiale}} = \frac{P}{A_c} \]
où :
- \(P\) = force de précontrainte (kN)
- \(A_c\) = aire de la section de béton (m²)
Données:
- \(P = 1500 \, \text{kN} = 1500 \times 10^3 \, \text{N}\)
- Largeur \(b = 0.50 \, \text{m}\)
- Hauteur \(h = 1.20 \, \text{m}\)
- \(A_c = b \times h = 0.50 \times 1.20 = 0.60 \, \text{m}^2\)
Calcul:
\[ \sigma_{cp,\,\text{initiale}} = \frac{1500 \times 10^3 \, \text{N}}{0.60 \, \text{m}^2} \] \[ \sigma_{cp,\,\text{initiale}} = \frac{1.5 \times 10^6 \, \text{N}}{0.60} \] \[ \sigma_{cp,\,\text{initiale}} = 2.5 \times 10^6 \, \text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{cp,\,\text{initiale}} = 2.5 \, \text{MPa} \]
Résultat :
\[ \sigma_{cp,\,\text{initiale}} \approx 2.5\,\text{MPa} \quad (\text{compression dans le béton}) \]
Remarque : Si l’axe de précontrainte est excentré, il faudrait ajouter le terme \(\pm \frac{P \, e \, y}{I}\) pour trouver la contrainte maximale en fibre tendue ou comprimée. Faute de données d’excentricité, on présente ici la contrainte moyenne dans la section.
3. Vérification à l’état limite ultime (ELU)
À l’ELU, on combine les charges avec les coefficients de sécurité appropriés (selon Eurocode ou normes équivalentes). Généralement, pour une poutre de pont routier, une combinaison possible est :
\[ w_{\text{ELU}} = 1.35 \, g + 1.50 \, q \]
puis on vérifie que le moment résistant ultime de la section \((M_{Rd})\) est supérieur au moment fléchissant de calcul \((M_{Ed})\).
Formules:
1. Combinaison de charges :
\[ w_{\text{ELU}} = 1.35 \, g + 1.50 \, q \]
2. Moment de calcul à l’ELU :
\[ M_{Ed} = \frac{w_{\text{ELU}} \times L^2}{8} \]
3. Résistance en flexion (principes généraux) :
\(M_{Rd}\) dépend de la section béton et de la quantité d’acier de précontrainte
- Contrainte de calcul du béton :
\[ f_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c} \] (pour un béton C30/37, \(f_{ck}=30 \, \text{MPa,}\) \(\gamma_c = 1.5 \rightarrow f_{cd} = 20\,\text{MPa}\)
- Contrainte de calcul de l’acier de précontrainte :
\[ f_{pd} = \frac{f_{pk}}{\gamma_s} \](pour un acier Y1860S7, \(f_{pk} = 1860\,\text{MPa,}\) \(\gamma_s = 1.15 \rightarrow f_{pd} \approx 1617\,\text{MPa}\)
Ensuite, selon la position de l’acier (par exemple, tendons au bas de la poutre), on calcule la hauteur de la zone comprimée dans le béton et on vérifie :
\[ M_{Rd} \ge M_{Ed} \]
Données:
- \(g = 25 \, \text{kN/m}\)
- \(q = 10 \, \text{kN/m}\)
- \(L = 25 \, \text{m}\)
- \(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)
- \(f_{cd} = \frac{30}{1.5} = 20\,\text{MPa}\)
- \(f_{pk} = 1860 \, \text{MPa}\)
- \(f_{pd} = \frac{1860}{1.15} \approx 1617 \, \text{MPa}\)
Calcul de \(M_{Ed}\):
1. Combinaison de charges :
\[ w_{\text{ELU}} = 1.35 \times 25 + 1.50 \times 10 \] \[ w_{\text{ELU}} = 33.75 + 15 \] \[ w_{\text{ELU}} = 48.75 \, \text{kN/m} \]
2. Moment de calcul :
\[ M_{Ed} = \frac{48.75 \times 25^2}{8} \] \[ M_{Ed} = \frac{48.75 \times 625}{8} \] \[ M_{Ed} = \frac{30468.75}{8} \] \[ M_{Ed} \approx 3808.59 \, \text{kN}\cdot\text{m} \]
Arrondi :
\[ M_{Ed} \approx 3809 \, \text{kN}\cdot\text{m} \]
3. Moment résistant :
Pour illustrer, on ferait un calcul section par section (méthode des bielles et tirants ou approche simplifiée) en tenant compte :
- De la contrainte de calcul dans l’acier : \(f_{pd} \approx 1617\,\text{MPa}\).
- De la limite de compression du béton : \(f_{cd} = 20\,\text{MPa}\).
- De la position des câbles de précontrainte et de la « hauteur utile » \(d\).
Conclusion :
S’il s’avère que \(M_{Rd} > M_{Ed}\), la poutre satisfait l’ELU en flexion.
En résumé, le moment résistant n’a pas été calculé numériquement car :
- Les données nécessaires pour un calcul complet (position des câbles, aire effective de précontrainte, hauteur utile \(d\), etc.) n’ont pas été fournies.
- L’objectif était de présenter l’approche conceptuelle et la méthodologie générale plutôt qu’un calcul détaillé chiffré.
4. Calcul des déformations à long terme
Le béton est soumis au fluage (\(\phi\)) sous l’effet des charges permanentes et de la précontrainte. Le fluage entraîne une augmentation progressive des déformations dans le temps. On dispose généralement d’une déformation immédiate \(\varepsilon_{\text{immediate}}\) et d’un coefficient de fluage \(\phi\). La déformation totale peut s’estimer par :
\[ \varepsilon_{\text{totale}} \approx \varepsilon_{\text{immediate}} \, \bigl(1 + \phi \bigr) \]
Formule:
\[ \varepsilon_{\text{long terme}} = \varepsilon_{\text{immediate}} + \phi \cdot \varepsilon_{\text{immediate}}
= \varepsilon_{\text{immediate}}\, (1 + \phi) \]
Données:
- \(\varepsilon_{\text{immediate}} = 500 \, \text{microdéformations} = 500 \times 10^{-6}\)
- \(\phi = 2\)
Calcul:
\[ \varepsilon_{\text{totale}} = 500 \times 10^{-6} \times (1 + 2) \] \[ \varepsilon_{\text{totale}} = 500 \times 10^{-6} \times 3 \] \[ \varepsilon_{\text{totale}} = 1500 \times 10^{-6} \] \[ \varepsilon_{\text{totale}} = 1500 \, \text{microdéformations} \]
Remarque :
- Les flèches (déformations en flexion) à long terme de la poutre seront également environ 3 fois la flèche immédiate.
- Dans la pratique, on affine le calcul de flèche en tenant compte de la répartition de la précontrainte, du retrait, de la durée d’application des charges, etc.
Conclusion générale
- Dimensionnement en flexion : Il convient de vérifier que la section en béton précontraint répond aux exigences de résistance à l’ELU (en justifiant que \(M_{Rd} > M_{Ed}\)
- Contrainte initiale : La valeur de 2,5 MPa de compression moyenne reste dans des gammes usuelles pour un béton C30/37.
- Flèches et déformations : Les effets différés (fluage) triplent environ les déformations par rapport à l’instant initial, point important pour le respect des limites de service (flèches maximales, etc.).
Calcul de la poutre en béton précontraint
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