Calcul des Efforts en Béton Précontraint

CALCUL DES EFFORTS EN BÉTON PRÉCONTRAINT

Comprendre le calcul des efforts en béton précontraint

Dans le cadre de la conception des structures, le calcul des efforts internes joue un rôle crucial pour assurer la sécurité et la performance des bâtiments.  Le béton précontraint est souvent choisi pour sa capacité à supporter de grandes charges.

Dans cet exercice, vous effectuerez le calcul des efforts pour une poutre en béton précontraint destinée à un bâtiment résidentiel, conformément aux normes de l’Eurocode.

Données:

  • Longueur de la poutre (L) : 8 m
  • Charge permanente (G) : 15 kN/m
  • Charge variable (Q) : 20 kN/m
  • Charge concentrée (P) : 50 kN à mi-portée (L/2)
  • Résistance caractéristique du béton (f_ck) : 35 MPa
  • Résistance caractéristique de l’acier de précontrainte (f_pk) : 1570 MPa
  • Coefficient partiel pour les charges permanentes (γ_G) : 1,35
  • Coefficient partiel pour les charges variables (γ_Q) : 1,5

Questions:

1. Calcul des Charges Caractéristiques:

  • Calculez la charge caractéristique permanente \(G_k\) de la poutre.
  • Déterminez la charge caractéristique variable \(Q_k\).
  • Quelle est la valeur de la charge concentrée \(P_k\)?

2. Calcul des Charges d’Exploitation

  • Déterminez la charge d’exploitation permanente \(G_d\).
  • Calculez la charge d’exploitation variable \(Q_d\). Notez que pour les charges variables, un facteur de réduction de 0,6 est appliqué.

3. Calcul des Charges Totales

  • Calculez la charge totale résultante sur la poutre en considérant \(G_k\), \(G_d\), et \(Q_d\).

4. Calcul des Moments Fléchissants

  • Déterminez le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}^{\text{concentrée}}\) dû à la charge concentrée \(P_k\).
  • Calculez le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}^{\text{variable}}\) dû aux charges variables totales.

5. Calcul des Contraintes dans l’Acier de Précontrainte

  • Calculez la force totale \(P_s\) agissant sur l’acier de précontrainte. Considérez toutes les charges appliquées sur la poutre.
  • Comment détermineriez-vous la section efficace \(As\) nécessaire de l’acier de précontrainte pour résister à ces forces?

Correction : calcul des efforts en béton précontraint

1. Calcul des Charges Caractéristiques

Les charges caractéristiques sont calculées en prenant en compte la charge permanente G, la charge variable Q, et la charge concentrée P.

Ces charges sont essentielles pour anticiper les sollicitations réelles de la structure.

Données:

  • Longueur de la poutre L = 8 m
  • Charge permanente G = 15 kN/m
  • Charge variable Q = 20 kN/m
  • Charge concentrée P = 50 kN à mi-portée

Calcul de \(G_k\):

\[ G_k = G \times L \] \[ G_k = 15 \, \text{kN/m} \times 8 \, \text{m} \] \[ G_k = 120 \, \text{kN} \]

Calcul de \(Q_k\):

\[ Q_k = Q \times L \] \[ Q_k = 20 \, \text{kN/m} \times 8 \, \text{m} \] \[ Q_k = 160 \, \text{kN} \]

Valeur de \(P_k\):

\[ P_k = 50 \, \text{kN} \]

2. Calcul des Charges d’Exploitation

Les charges d’exploitation sont calculées en utilisant les coefficients partiels pour les charges permanentes et variables.

Données:

  • Coefficient partiel pour les charges permanentes \(\gamma_G = 1.35\)
  • Coefficient partiel pour les charges variables \(\gamma_Q = 1.5\)

Calcul de \(G_d\):

\[ G_d = \gamma_G \times G_k \] \[ G_d = 1.35 \times 120 \, \text{kN} \] \[ G_d = 162 \, \text{kN} \]

Calcul de \(Q_d\):

\[ Q_d = 0.6 \times \gamma_Q \times Q_k \] \[ Q_d = 0.6 \times 1.5 \times 160 \, \text{kN} \] \[ Q_d = 144 \, \text{kN} \]

3. Calcul des Charges Totales

La charge totale sur la poutre est la somme des charges d’exploitation permanentes et variables.

\[ Q_{\text{total}} = G_d + Q_d \] \[ Q_{\text{total}} = 162 \, \text{kN} + 144 \, \text{kN} \] \[ Q_{\text{total}} = 306 \, \text{kN} \]

4. Calcul des Moments Fléchissants

Le moment fléchissant est un indicateur des sollicitations dues à la flexion de la poutre sous l’effet des charges.

Données:

  • Longueur de la poutre L = 8 m

Moment dû à la charge concentrée:

\[ M_{\text{max}}^{\text{concentrée}} = \frac{P_k \times L}{4} \] \[ = \frac{50 \, \text{kN} \times 8 \, \text{m}}{4} \] \[ = 100 \, \text{kNm} \]

Moment dû aux charges variables:

\[ M_{\text{max}}^{\text{variable}} = \frac{Q_{\text{total}} \times L^2}{8} \] \[ = \frac{306 \, \text{kN} \times (8 \, \text{m})^2}{8} \] \[ = 2448 \, \text{kNm} \]

5. Calcul des Contraintes dans l’Acier de Précontrainte

Il est crucial de s’assurer que l’acier de précontrainte peut supporter les charges appliquées sans dépasser ses limites élastiques.

Calcul de \(P_s\):

\[ P_s = P_k + G_{\text{total}} + Q_{\text{total}} \] \[ = 50 \, \text{kN} + 120 \, \text{kN} + 306 \, \text{kN} \] \[ = 476 \, \text{kN} \]

Calcul des efforts en béton précontraint

D’autres exercices de béton précontraint:

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