Calcul de la Section d’Armature d’une poutre
Comprendre le Calcul de la Section d’Armature d’une poutre
Vous êtes ingénieur(e) structure dans un bureau d’études et vous travaillez sur la conception d’un bâtiment résidentiel.
Une des poutres principales de la structure, située au rez-de-chaussée et supportant les charges des étages supérieurs, nécessite une conception détaillée pour assurer la sécurité et la stabilité de l’ensemble du bâtiment.
Cette poutre sera en béton armé et devra être conçue selon les normes de l’Eurocode 2.
Pour comprendre le Calcul des armatures d’une poutre, cliquez sur le lien.
Données de l’Exercice:
- Longueur de la poutre, \(L\): 8 mètres
- Largeur de la poutre, \(b\): 300 mm
- Hauteur de la poutre, \(h\): 600 mm
- Couverture en béton, \(c\): 25 mm
- Diamètre des barres d’armature longitudinales, \(\phi\): 20 mm
- Classe de résistance du béton: C25/30
- Classe d’acier d’armature: B500B
- Charge permanente (G), y compris le poids propre de la poutre: 30 kN/m
- Charge variable (Q): 20 kN/m
- Coefficients de sécurité partiels pour les charges: \(\gamma_G = 1.35\), \(\gamma_Q = 1.5\)
Questions:
1. Calcul des Moments Fléchissants (\(M_{Ed}\)):
Déterminez le moment fléchissant de calcul en tenant compte des charges permanentes et variables appliquées à la poutre, en utilisant les coefficients de sécurité partiels.
2. Détermination de la Section d’Armature Nécessaire (\(A_{s,req}\)):
Calculez la section d’armature nécessaire pour résister au moment fléchissant de calcul, en utilisant les propriétés du matériau (béton et acier) selon l’Eurocode 2.
3. Vérification de la Section d’Armature Minimale et Maximale:
Vérifiez si la section d’armature calculée respecte les exigences minimales et maximales de l’Eurocode 2 pour assurer une distribution adéquate des contraintes et une bonne ductilité de la poutre.
Correction : Calcul de la Section d’Armature d’une poutre
1. Calcul du Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Calcul des charges agissant sur la poutre:
- Charge permanente (\(G\)) : 30 kN/m
- Charge variable (\(Q\)) : 20 kN/m
Les charges totales sont multipliées par leurs coefficients de sécurité respectifs :
- \( G_{tot} = G \times \gamma_G = 30 \times 1.35 = 40.5 \text{ kN/m} \)
- \( Q_{tot} = Q \times \gamma_Q = 20 \times 1.5 = 30 \text{ kN/m} \)
Charge totale agissant sur la poutre :
\[ W = G_{tot} + Q_{tot} \] \[ W = 40.5 + 30 = 70.5 \text{ kN/m} \]
Détermination du moment fléchissant de calcul (\(M_{Ed}\)):
Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal est donné par :
\[ M_{Ed} = \frac{W \times L^2}{8} \]
En substituant les valeurs :
\[ M_{Ed} = \frac{70.5 \times 8^2}{8} \] \[ M_{Ed} = \frac{70.5 \times 64}{8} \] \[ M_{Ed} = 564 \text{ kNm} \]
2. Détermination de la Section d’Armature Nécessaire (\(A_{s,req}\))
Pour calculer \(A_{s,req}\), nous utilisons la formule simplifiée basée sur l’équilibre des moments en flexion, en considérant la limite élastique de l’acier (\(f_{yd}\)) et la dimension efficace de la section (\(d = h – c – \frac{\phi}{2}\)) :
\[ d = 600 – 25 – 10 = 565 \text{ mm} \]
Nous utilisons l’approche de l’Eurocode pour estimer \(A_{s,req}\) à partir de \(M_{Ed}\), \(f_{yd}\), et \(d\). Pour l’acier B500B, \(f_{yd}\) est typiquement pris comme 435 MPa (après application des facteurs de sécurité) :
\[ A_{s,req} = \frac{M_{Ed} \times 10^6}{0.9 \times d \times f_{yd}} \]
En substituant les valeurs :
\[ A_{s,req} = \frac{564 \times 10^6}{0.9 \times 565 \times 435} \] \[ A_{s,req} \approx 1453 \text{ mm}^2 \]
3. Vérification des Sections d’Armature
Selon l’Eurocode 2, la section d’armature minimale (\(A_{s,min}\)) et maximale (\(A_{s,max}\)) est déterminée par des considérations spécifiques. Pour une largeur de poutre de 300 mm et une hauteur efficace d’environ 565 mm :
\[ A_{s,min} \approx 0.0026 \times b \times h \] \[ A_{s,min} = 0.0026 \times 300 \times 565 \] \[ A_{s,min} \approx 441 \text{ mm}^2 \]
\[ A_{s,max} \approx 0.04 \times b \times h \] \[ A_{s,max} = 0.04 \times 300 \times 565 \] \[ A_{s,max} \approx 6780 \text{ mm}^2 \]
Conclusion:
Avec une section d’armature requise de 1453 mm\(^2\), nous constatons que cette valeur se situe bien entre les limites minimale et maximale spécifiées par l’Eurocode 2 pour cette poutre en béton armé :
- Section d’armature minimale requise \((A_{s,\text{min}})\) \(\approx 441\,\text{mm}^2\)
- Section d’armature calculée nécessaire \((A_{s,\text{req}})\) \(\approx 1453\,\text{mm}^2\)
- Section d’armature maximale autorisée \((A_{s,\text{max}})\) \(\approx 6780\,\text{mm}^2\)
Cela signifie que la quantité d’armature calculée (\(1453\,\text{mm}^2\)) est adéquate pour résister au moment fléchissant de calcul \((M_{\text{Ed}})\) imposé par les charges, tout en respectant les exigences de l’Eurocode 2 concernant les sections d’armature minimales et maximales. Cela assure une bonne répartition des contraintes dans la poutre et une ductilité adéquate pour la sécurité structurelle.
La prochaine étape consisterait à sélectionner une disposition d’armatures qui fournisse la section transversale totale d’acier requise. Par exemple, en utilisant des barres d’un diamètre de 20 mm avec une aire de \(314\,\text{mm}^2\) par barre, on pourrait choisir de disposer 5 barres (2 en bas et 3 en haut) pour fournir une aire totale d’armature de \(1570\,\text{mm}^2\), légèrement au-dessus de l’exigence calculée, pour tenir compte des tolérances de construction et des approximations dans le calcul.
Calcul de la Section d’Armature d’une poutre
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