Contrainte maximale dans le béton
Comprendre le calcul de la contrainte maximale en compression dans le béton
Dans le cadre du projet de construction d’un nouveau pont routier, vous êtes chargé de vérifier la résistance d’une des poutres principales en béton armé.
Cette poutre doit non seulement supporter son propre poids mais aussi les charges dues au trafic routier qui passera sur le pont.
Le but est de calculer la contrainte maximale en compression que subit le béton dans la section la plus sollicitée de la poutre, afin de s’assurer que la conception respecte les normes de sécurité.
Pour comprendre la Vérification de la résistance à la compression, cliquez sur le lien.
Données Fournies:
- Longueur de la poutre (L) : 20 m
- Largeur de la section transversale (b) : 300 mm
- Hauteur de la section transversale (h) : 500 mm
- Diamètre des barres d’acier (\(d_{\text{bar}}\)) : 20 mm
- Nombre de barres d’acier en tension (n) : 4
- Distance du centre de gravité des barres d’acier à la fibre la plus comprimée (d) : 450 mm
- Module d’élasticité du béton (\(E_c\)) : 25 GPa
- Module d’élasticité de l’acier (\(E_s\)) : 200 GPa
- Charge permanente (incluant le poids propre de la poutre) (g) : 25 kN/m
- Charge variable (trafic, neige, etc.) (q) : 45 kN/m
Objectif:
Calculer la contrainte maximale en compression dans le béton au niveau de la section la plus sollicitée de la poutre, lorsque celle-ci est soumise à la charge totale (permanente plus variable).
Questions:
1. Calculez la charge totale appliquée sur la poutre.
2. Déterminez le moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\)) à mi-portée, en utilisant les principes de mécanique des structures pour une poutre simplement appuyée.
3. Calculez l’aire des barres d’acier en tension (\(A_s\)).
4. En utilisant la formule appropriée, calculez la contrainte maximale en compression (\(\sigma_c\)) dans le béton à la fibre la plus comprimée.
5. Comparez votre résultat aux limites admissibles spécifiées par les normes de conception pour évaluer la conformité de la poutre.
Correction : contrainte maximale dans le béton
1. Calcul de la charge totale appliquée sur la poutre
La charge totale appliquée par mètre linéaire (\(q_{\text{total}}\)) est la somme de la charge permanente (g) et de la charge variable (q):
\[ q_{\text{total}} = g + q \] \[ q_{\text{total}} = 25\, \text{kN/m} + 45\, \text{kN/m} \] \[ q_{\text{total}} = 70\, \text{kN/m} \]
Cette charge totale comprend le poids propre de la poutre ainsi que les charges additionnelles (par exemple, le trafic et la neige).
2. Moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\))
Le moment fléchissant maximal au milieu de la portée de la poutre est calculé en utilisant la formule pour une poutre simplement appuyée et chargée uniformément :
\[ M_{\text{max}} = \frac{q_{\text{total}} \times L^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{70 \times 20^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 3500\, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Ce moment reflète la sollicitation la plus importante en flexion que la poutre doit supporter.
3. Calcul de l’aire des barres d’acier en tension (\(A_s\))
L’aire des barres d’acier en tension est obtenue en multipliant le nombre de barres par l’aire d’une barre :
\[ A_s = n \times \pi \times \left( \frac{d_{\text{bar}}}{2} \right)^2 \] \[ A_s = 4 \times 3.1416 \times \left( \frac{0.02}{2} \right)^2 \] \[ A_s = 0.00125664\, \text{m}^2 \]
Cette aire représente la quantité d’acier en tension dans la section de béton armé.
4. Contrainte maximale en compression dans le béton (\(\sigma_c\))
La contrainte en compression dans le béton à la fibre la plus comprimée est calculée avec la formule de Navier :
\[ \sigma_c = \frac{M_{\text{max}} \times y}{I} \]
où I est le moment d’inertie de la section transversale de la poutre :
\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \] \[ I = \frac{0.3 \times 0.5^3}{12} \]
et y est la distance de l’axe neutre à la fibre la plus comprimée, ici égale à \(h/2\).
\[ \sigma_c = \frac{3500 \times 0.25}{\left(0.3 \times (0.5)^3\right) / 12} \] \[ \sigma_c = 280\, \text{MPa} \]
5. Interprétation des résultats:
Le calcul montre que la contrainte maximale en compression dans le béton, sous la charge maximale (permanente plus variable), est de 280 MPa.
Cette valeur est critique pour la conception de la poutre en béton armé. Elle doit être comparée aux spécifications des normes de construction applicables (par exemple, Eurocode 2 pour les pays européens) pour vérifier que la section est suffisamment dimensionnée pour supporter les charges prévues sans dépasser les limites de contrainte admissibles pour le béton.
Il est également important de noter que l’efficacité de l’armature en acier joue un rôle crucial dans la capacité de la section de béton armé à résister aux moments de flexion, en augmentant sa ductilité et sa capacité à supporter des charges plus importantes avant de faillir.
Contrainte maximale dans le béton
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