Calcul des armatures d’une poutre

Calcul des armatures d’une poutre

Comprendre le calcul des armatures d’une poutre:

Vous êtes ingénieur en structure et devez concevoir les armatures d’une poutre en béton armé pour un petit pont routier.

Le pont doit supporter à la fois son propre poids (poids propre) et la charge des véhicules (charge d’exploitation).

Données :

  1. Dimensions de la poutre : Longueur = 10 m, Largeur = 0,3 m, Hauteur = 0,5 m.
  2. Matériaux :
    • Béton : Classe C30/37.
    • Acier : FeE500.
  3. Charges :
    • Poids propre de la poutre : 25 kN/m.
    • Charge d’exploitation : 45 kN/m (charge uniformément répartie).
  4. Conditions de support : La poutre est simplement appuyée aux deux extrémités.

Objectif de l’exercice :

Calculer le ferraillage nécessaire pour la poutre en suivant les étapes ci-dessous :

  1. Détermination des efforts internes :
    • Calculer le moment fléchissant maximal (Mmax) et l’effort tranchant maximal (Vmax) dans la poutre.
  2. Calcul de l’armature longitudinale :
    • Utiliser les formules de l’Eurocode pour déterminer la section d’acier nécessaire à la résistance à la flexion (As,flexion).
    • Vérifier la contrainte dans le béton et l’acier.
  3. Calcul de l’armature transversale (étriers) :
    • Calculer l’espacement des étriers pour résister à l’effort tranchant, en suivant les règles de l’Eurocode.
  4. Vérifications supplémentaires :
    • Vérifier l’enrobage minimal des armatures.
    • S’assurer que les dispositions constructives (espacement minimal entre les barres, diamètre minimal des barres, etc.) sont respectées.

Correction : calcul des armatures d’une poutre

1. Détermination des efforts internes

Moment fléchissant maximal (Mmax) et effort tranchant maximal (Vmax)

  • Charges totales (W):

Somme du poids propre et de la charge d’exploitation, soit

    \[ W = 25 \text{ kN/m} + 45 \text{ kN/m} \]

    \[ W = 70 \text{ kN/m} \]

  • Moment fléchissant maximal (Mmax):

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie,

    \[ M_{\text{max}} = \frac{W \times L^2}{8} \]

, où L est la longueur de la poutre. Donc,

    \[ M_{\text{max}} = \frac{70 \text{ kN/m} \times (10 \text{ m})^2}{8} \]

    \[ M_{\text{max}} = 875 \text{ kN} \cdot \text{m} \]

  • Effort tranchant maximal (Vmax):

Pour une charge uniformément répartie,

    \[ V_{\text{max}} = \frac{W \times L}{2} \]

. Ainsi,

    \[ V_{\text{max}} = \frac{70 \text{ kN/m} \times 10 \text{ m}}{2} \]

    \[ V_{\text{max}} = 350 \text{ kN} \]

2. Calcul de l’armature longitudinale

Section d’acier nécessaire (As,flexion)

  • Dimensionnement à la flexion:

Utilisez la formule de l’Eurocode pour le dimensionnement à la flexion,

    \[ A_s = \frac{M_{\text{max}}}{0.87 \times f_{yd} \times (d - a)} \]

, où f_{yd} est la limite d’élasticité de l’acier, d est la hauteur utile de la section et a est la distance du centre de gravité de l’armature à la fibre la plus comprimée.

Supposons d = 450 \text{ mm} (hauteur utile) et a = 50 \text{ mm}. Avec f_{yd} = 500 \text{ MPa}, on a
A_s = \frac{875 \times 10^6 \text{ N} \cdot \text{mm}}{0.87 \times 500 \times 10^6 \text{ N/m}^2 \times (450 - 50) \text{ mm}}

    \[ A_s  \approx 2263 \text{ mm}^2 \]

Choix du nombre de barres pour l’armature longitudinale

Pour l’armature longitudinale, nous avions calculé une aire nécessaire de A_s \approx 2263 \, \text{mm}^2.

Supposons que nous utilisons des barres d’armature de 16 mm de diamètre, dont la section d’acier pour une barre est \pi \times \left( \frac{16}{2} \right)^2 \approx 201 \, \text{mm}^2.

Le nombre de barres nécessaires est donc

    \[\frac{2263}{201} \approx 11.26\]


Cela signifie que nous devrions utiliser au moins 12 barres d’armature de 16 mm de diamètre pour satisfaire les exigences de l’armature longitudinale.

3. Calcul de l’armature transversale (étriers)

Espacement des étriers

En reprenant les données du calcul de l’effort tranchant maximal V_{\text{max}} = 350 \, \text{kN} et en utilisant la formule pour l’espacement des étriers, on a besoin de déterminer A_{sv} et z.

  • Supposons l’utilisation d’étriers de diamètre 8 mm (section d’acier A_{sv} pour un étrier).

La section transversale d’un étrier est

    \[ \pi \times \left(\frac{8}{2}\right)^2 \approx 50 \, \text{mm}^2 \]

.

  • La distance interne z est généralement prise à environ 0.9d. Pour notre poutre,

        \[ z = 0.9 \times 450 \, \text{mm} \]

        \[ z = 405 \, \text{mm} \]

    .

En utilisant la formule

    \[ s = \frac{A_{sv} \times f_{yd} \times z}{V_{\text{max}}} \]

, avec f_{yd} = 500 \, \text{MPa}:

s = \frac{50 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \times 500 \times 10^{6} \, \text{N/m}^2 \times 405 \times 10^{-3} \, \text{m}}{350 \times 10^{3} \, \text{N}}

    \[ \approx 0.072 \, \text{m}\]

Cela signifie que l’espacement maximal des étriers devrait être d’environ 72 mm pour résister à l’effort tranchant maximal.

4. Vérifications supplémentaires

  • Enrobage minimal : Assurez-vous que l’enrobage des armatures répond aux exigences minimales pour la protection contre la corrosion et la résistance au feu selon l’Eurocode.
  • Dispositions constructives : Vérifiez que les dispositions constructives sont respectées (par exemple, l’espacement minimal entre les barres, diamètre minimal des barres, etc.).

Calcul des armatures d’une poutre

Section Transversale de la poutre

calcul des armatures d’une poutre

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