Vérifier le non-écrasement des bielles de béton
Vérifier le non-écrasement des bielles de béton en compression dans la poutre
Vous êtes ingénieur en structure et travaillez sur la conception d’un bâtiment à usage commercial de 5 étages. La structure principale est en béton armé.
L’un des éléments clés de votre conception est une poutre en béton armé, soutenant une charge importante due au poids des étages supérieurs.
Objectif : Vérifier le non-écrasement des bielles de béton en compression dans la poutre principale pour assurer la sécurité et la stabilité de la structure.
Pour comprendre la Vérification de la résistance à la compression, cliquez sur le lien.
Données :
- Dimensions de la poutre : Longueur = 8 m, Largeur = 0.3 m, Hauteur = 0.6 m.
- Matériau : Béton de classe C30/37, acier de renforcement Fe500.
- Charges appliquées :
- Charges permanentes (G) = 50 kN/m.
- Charges variables (Q) = 30 kN/m.
- Coefficient de sécurité : 1.5 pour les charges permanentes et 1.2 pour les charges variables.
- Critères de conception :
- Résistance caractéristique du béton à la compression (fck) = 30 MPa.
- Coefficient partiel de sécurité pour le béton (γc) = 1.5.
- Aire de l’acier de renforcement (As) = 1000 mm².
Instructions :
1. Calcul de la charge totale
Déterminer la charge totale appliquée sur la poutre en utilisant les charges permanentes et variables, ainsi que les coefficients de sécurité.
2. Contrainte de compression dans le béton
Calculer la contrainte de compression dans le béton en utilisant la formule :
\(\sigma_c = \frac{N}{A} + \frac{M}{W}\) où N est la force axiale, A est l’aire de la section transversale, M est le moment fléchissant, et W est le module de résistance de la section.
3. Vérification du non-écrasement
Comparer la contrainte de compression calculée avec la résistance caractéristique du béton réduite par le coefficient de sécurité (fck/\(\gamma_c\)). Si la contrainte est inférieure à cette valeur, le non-écrasement est assuré.
4. Analyse supplémentaire
Proposer des modifications ou des améliorations si la contrainte de compression dépasse la limite admissible.
Correction : Vérifier le non-écrasement des bielles de béton
1. Calcul de la Charge Totale
Les charges totales sur la poutre se composent de charges permanentes et variables, majorées par leurs coefficients de sécurité respectifs.
Charges permanentes majorées :
\[ = G \times \text{Coefficient de sécurité} \] \[ = 50 \, \text{kN/m} \times 1.5 = 75 \, \text{kN/m} \]
Charges variables majorées :
\[ Q \times \text{Coefficient de sécurité} \] \[ = 30 \, \text{kN/m} \times 1.2 = 36 \, \text{kN/m} \]
Charge totale :
= Charges permanentes majorées + Charges variables majorées
\[ = 75 \, \text{kN/m} + 36 \, \text{kN/m} \] \[ = 111 \, \text{kN/m} \]
2. Contrainte de Compression dans le Béton
Pour calculer la contrainte de compression, nous devons d’abord déterminer la force axiale (N) et le moment fléchissant (M). Supposons que la poutre soit simplement appuyée et uniformément chargée.
Force axiale (N) :
Pour une poutre simplement appuyée, la force axiale est négligeable (N \(\approx\) 0).
Moment fléchissant (M) :
Le moment maximal dans une poutre uniformément chargée est
\[ M = \frac{wL^2}{8} \]
où w est la charge totale par unité de longueur et L est la longueur de la poutre.
\[ M = \frac{111 \times 8^2}{8} \] \[ M = 111 \times 8 = 888 \, \text{kNm} \]
Module de résistance de la section (W) :
\[ W = \frac{b \times h^2}{6} \]
pour une section rectangulaire, où b et h sont la largeur et la hauteur de la poutre.
\[ W = \frac{0.3 \times 0.6^2}{6} = 0.018 \, \text{m}^3 \]
Contrainte de compression (\(\sigma_c\)) :
\[ \sigma_c = \frac{N}{A} + \frac{M}{W} \]
\[ A = b \times h \] \[ A = 0.3 \times 0.6 = 0.18 \, \text{m}^2 \]
\[ \sigma_c = \frac{0}{0.18} + \frac{888 \times 10^3}{0.018} \] \[ \sigma_c = 49.33 \, \text{MPa} \]
3. Vérification du Non-Écrasement
Résistance caractéristique réduite du béton (\(f_{ck}/\gamma_c\)) :
\[ \frac{30}{1.5} = 20 \, \text{MPa} \]
La contrainte de compression (49.33 MPa) est supérieure à la résistance caractéristique réduite du béton (20 MPa), indiquant un risque d’écrasement.
4. Analyse Supplémentaire
La poutre ne satisfait pas les exigences de non-écrasement. Des modifications sont nécessaires, telles que :
- Augmenter les dimensions de la poutre pour réduire la contrainte.
- Utiliser un béton de classe supérieure pour augmenter la résistance à la compression.
- Réviser la conception pour réduire les charges ou redistribuer les forces.
Vérifier le non-écrasement des bielles de béton en compression
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