Contrôle de la Fissuration d’une Poutre

Contrôle de la Fissuration d’une Poutre

Comprendre le contrôle de la Fissuration d’une Poutre

Objectif : Calculer la largeur maximale des fissures dans une poutre en béton armé, pour vérifier sa conformité aux exigences de l’Eurocode 2.

Données de l’Exercice :

  1. Dimensions de la poutre :
    • Longueur : 8 mètres
    • Largeur : 300 mm
    • Hauteur : 500 mm
  2. Matériaux :
    • Béton : C25/30
    • Acier d’armature : B500B
  3. Charges :
    • Charge permanente (G) : 25 kN/m
    • Charge variable (Q) : 15 kN/m
  4. Conditions environnementales :
    • Classe d’exposition : XC3

Instructions :

  1. Déterminer les moments fléchissants maximaux :
    • Utilisez la théorie des poutres pour calculer les moments dus aux charges permanentes et variables.
  2. Choix et disposition des armatures :
    • Sélectionnez le diamètre et l’espacement des barres d’armature pour résister aux moments calculés.
  3. Calcul de la fissuration :
    • Calculez la contrainte dans l’acier à l’aide de l’Eurocode 2.
    • Déterminez la largeur de fissure admissible en fonction de la classe d’exposition et du type de structure.
    • Utilisez la formule de l’Eurocode 2 pour calculer la largeur de fissure.

Question : Vérifiez si la largeur de fissure calculée est inférieure à la valeur limite spécifiée par l’Eurocode pour la classe d’exposition donnée. Si ce n’est pas le cas, proposez des modifications dans la conception de l’armature.

Correction : contrôle de la Fissuration d’une Poutre

1. Détermination des Moments Fléchissants Maximaux

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal, M, se calcule comme suit :

    \[ M = \frac{w \times l^2}{8} \]

w est la charge totale par unité de longueur (G + Q) et l est la longueur de la poutre.

  •     \[ w = G + Q = 25 + 15 \]

        \[ w = 40 \, \text{kN/m} \]

  •     \[ l = 8 \, \text{m} \]

Calculons M :

    \[ M = \frac{40 \times 8^2}{8} \]

    \[ M = \frac{40 \times 64}{8} = 320 \, \text{kNm} \]

2. Choix et Disposition des Armatures

Supposons un diamètre d’armature de 16 mm et un espacement de 200 mm. Le choix doit être vérifié pour s’assurer qu’il peut résister aux moments calculés. L’aire de l’armature, A_s, peut être estimée en utilisant la formule :

    \[ A_s = \frac{M \times 10^6}{0.87 \times f_y \times d} \]

f_y est la résistance caractéristique de l’acier (500 MPa pour B500B) et d est la distance utile (supposons 450 mm ici).

Calculons A_s :

    \[ A_s = \frac{320 \times 10^6}{0.87 \times 500 \times 450} \]

    \[ A_s = \frac{320 \times 10^6}{193500} \]

    \[ A_s \approx 1653 \, \text{mm}^2 \]

Vérifions si le choix d’armature est suffisant. Pour des barres de 16 mm de diamètre, l’aire d’une barre est :

    \[ A_{16} = \frac{\pi \times 16^2}{4} \approx 201 \, \text{mm}^2 \]

Le nombre de barres nécessaires est donc :

    \[ n = \frac{A_s}{A_{16}} = \frac{1653}{201} \approx 8.2 \]

Nous arrondissons à 9 barres. Vérifions l’espacement :

  • Espacement maximal autorisé par Eurocode pour le contrôle de la fissuration est d’environ 200 mm.
  • Avec 9 barres sur 8 mètres, l’espacement réel sera inférieur à 200 mm, donc acceptable.

3. Calcul de la Fissuration

Pour calculer la largeur de fissure w_k selon l’Eurocode 2, nous utilisons la formule suivante :

    \[ w_k = s_r \times (\varepsilon_{sm} - \varepsilon_{cm}) \]

s_r est l’espacement des armatures, \varepsilon_{sm} est la déformation moyenne de l’acier, et \varepsilon_{cm} est la déformation du béton au niveau de l’acier.

Données pour le Calcul

  • Espacement des Armatures, s_r :

Comme nous avons choisi un espacement inférieur à 200 mm, utilisons 200 mm pour une estimation conservatrice. En mètres, cela donne s_r = 0.2 \, \text{m}.

  • Déformation Moyenne de l’Acier, \varepsilon_{sm} :

Cette valeur dépend de la contrainte dans l’acier et peut être calculée à partir de la relation contrainte-déformation de l’acier. Pour simplifier, supposons une valeur typique de \varepsilon_{sm} = 2 \times 10^{-3} (soit 0.2%).

  • Déformation du Béton au Niveau de l’Acier, \varepsilon_{cm} :

Généralement plus petite et peut être négligée pour une estimation simplifiée. Nous prendrons \varepsilon_{cm} = 0.

Calcul de la Largeur de Fissure

    \[ w_k = 0.2 \times (2 \times 10^{-3} - 0) \]

    \[ w_k = 0.2 \times 2 \times 10^{-3} \]

    \[ w_k = 0.0004 \, \text{m} \text{ ou } 0.4 \, \text{mm} \]

Conclusion

Si la largeur de fissure admissible pour la classe d’exposition XC3 est de 0.3 mm, alors notre valeur calculée de 0.4 mm dépasse cette limite.

Dans ce cas, il faudrait envisager de réduire l’espacement des armatures, augmenter leur diamètre, ou adopter d’autres mesures de conception pour réduire la largeur des fissures.

Contrôle de la Fissuration d’une Poutre

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