Calcul d’une poutre de redressement

Calcul d’une poutre de redressement

Comprendre le calcul d’une poutre de redressement

Données :

  • Longueur de la poutre (L) = 6 m
  • Largeur de la poutre (b) = 300 mm
  • Hauteur de la poutre (h) = 500 mm
  • Charge permanente uniformément répartie (G) = 8 kN/m
  • Charge d’exploitation uniformément répartie (Q) = 5 kN/m
  • Béton : classe C25/30 ; f_ck = 25 MPa
  • Acier : FeE500 ; f_yk = 500 MPa
  • Coefficients partiels γ_c = 1.5 pour le béton et γ_s = 1.15 pour l’acier.
  • Combinaison d’actions : 1.35G + 1.5Q

Étapes :

  1. Calcul des sollicitations :a. Moments fléchissants maximaux dus à G et Q. b. Efforts tranchants maximaux dus à G et Q. c. Moments fléchissants combinés et efforts tranchants combinés en utilisant la combinaison d’actions.
  2. Calcul des armatures nécessaires :a. Moment de résistance du béton non armé. b. Calcul du moment de résistance du béton armé (zone tendue). c. Détermination du taux d’armature nécessaire et comparaison avec les valeurs limites. d. Calcul des diamètres et espacement des barres d’armature nécessaires pour résister aux moments fléchissants combinés.
  3. Vérification des efforts tranchants :a. Capacité de cisaillement du béton non armé. b. Si nécessaire, dimensionnement des armatures transversales (étriers) pour résister aux efforts tranchants combinés.
  4. Vérification de la serviceabilité :a. Calcul des flèches instantanées et différées. b. Comparaison avec les limites de serviceabilité.
  5. Esquisse :a. Dessiner une esquisse de la section transversale de la poutre montrant les barres d’armature longitudinales et transversales.

Correction : Calcul d’une poutre de redressement

1. Calcul des sollicitations :

Moments fléchissants maximaux (pour une charge uniformément répartie) :

    \[ M_{\text{max}} = \frac{w \times L^2}{8} \]

  • Pour G :

    \[ M_G = \frac{8 \times 6^2}{8} \]

    \[ M_G = 36 \text{kNm} \]

  • Pour Q :

    \[ M_Q = \frac{5 \times 6^2}{8} \]

    \[ M_Q = 22.5 \text{kNm}\]

Efforts tranchants maximaux (à l’appui) :

    \begin{align*}V_{\text{max}} &= \frac{w \times L}{2} \\\text{Pour G} : V_G &= \frac{8 \times 6}{2} = 24 \text{kN} \\\text{Pour Q} : V_Q &= \frac{5 \times 6}{2} = 15 \text{kN}\end{align*}

Moments fléchissants et efforts tranchants combinés :

    \begin{align*}M_{\text{combi}} &= 1.35M_G + 1.5M_Q \end{align*}

M_{\text{combi}} & = 1.35 \times 36 + 1.5 \times 22.5 = 81.6 \text{kNm}

    \begin{align*} V_{\text{combi}} &= 1.35V_G + 1.5V_Q \end{align*}

    \begin{align*} V_{\text{combi}} & = 1.35 \times 24 + 1.5 \times 15 \end{align*}

    \begin{align*} V_{\text{combi}} & = 57.9 \text{kN}\end{align*}

2. Calcul des armatures nécessaires :

Moment de résistance du béton non armé :

    \begin{align*}M_{Rb} &= \frac{f_{ck}}{\gamma_c} \times b \times h^2/6 \end{align*}

M_{Rb} & = \frac{25}{1.5} \times 0.3 \times 0.5^2/6 = 10.42 \text{kNm}

Moment de résistance du béton armé (section tendue) :

    \begin{align*}M_R &= M_{\text{combi}} - M_{Rb} \end{align*}

    \begin{align*}M_R & = 81.6 - 10.42 = 71.18 \text{kNm}\end{align*}

À partir de ce moment, et en utilisant les propriétés de l’acier et les tables appropriées de l’Eurocode 2, nous déterminons que le taux d’armature nécessaire est d’environ 1%. Pour notre section de 300 \text{mm} \times 500 \text{mm}, cela donne une aire d’armature de A_s = 0.01 \times 300 \times 500 = 1500 \text{mm}^2. En choisissant des barres de 16 mm (aire de 201 \text{mm}^2), nous aurions besoin de 8 barres (4 en haut et 4 en bas).

3. Vérification des efforts tranchants :

Capacité de cisaillement du béton non armé :

    \begin{align*}V_{Rb} &= 0.6 \times \sqrt{f_{ck}} \times b \times d\end{align*}

d est la hauteur utile, soit h – diamètre de barre/2 – enrobage. Si d = 450 \text{mm} (en considérant un enrobage de 25 mm), alors :

V_{Rb} &= 0.6 \times \sqrt{25} \times 0.3 \times 0.45 = 61.24 \text{kN}

Puisque V_{\text{combi}} < V_{Rb}, les étriers ne sont pas nécessaires pour les efforts tranchants.

4. Vérification de la serviceabilité :

Calcul des flèches :

    \begin{align*}\delta_G &= \frac{5 \times L^4}{384 \times E \times I} \\\delta_Q &= \frac{4 \times L^4}{384 \times E \times I} \\\delta_{\text{total}} &= 1.35 \delta_G + 1.5 \delta_Q\end{align*}

Comparer \delta_{\text{total}} avec les limites de serviceabilité (par exemple, L/250).

Esquisse :

Une section transversale de la poutre montrerait 4 barres d’armature en haut et 4 en bas, avec un enrobage d’environ 25 mm.

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