Ferraillage semelle isolée

Comprendre le ferraillage semelle isolée.

Vous êtes ingénieur en génie civil chargé de la conception et du ferraillage d’une semelle isolée pour une colonne d’un bâtiment R+4 (rez-de-chaussée plus quatre étages). La semelle doit répartir les charges de la colonne sur le sol d’assise.

Pour comprendre le Calcul des Dimensions de la Semelle et la Capacité Portante d’une Semelle Isolée, cliquez sur les liens.

Données Fournies:

– Charges sur la colonne:

Charge permanente (G): 250 kN
Charge d’exploitation (Q): 100 kN

– Dimensions de la colonne:

Base: 300 mm x 300 mm
Hauteur: 3 000 mm

– Caractéristiques du sol:

Contrainte admissible du sol ($\sigma_{\text{adm}}$): 150 kN/m²

– Caractéristiques du béton et de l’acier:

Béton: classe C25/30 (fck = 25 MPa)
Acier: Fe 500 (fyk = 500 MPa)

– Moment fléchissant dû à la charge centrée: 50 kNm
– Hauteur de la semelle ($h$): 600 mm
– Enrobage des armatures: 50 mm
– Diamètre des barres d’armature: 20 mm

Questions:

1. Dimensionnement de la semelle:

Calculez la charge totale à transmettre par la semelle.
Déterminez la surface minimale de la semelle en fonction de la contrainte admissible du sol.
Proposez des dimensions pour la semelle en prenant en compte une forme carrée ou rectangulaire.

2. Conception du ferraillage:

Confirmez le moment fléchissant maximal.
Calculez la section d’acier nécessaire pour reprendre ce moment fléchissant, en considérant un moment de 50 kNm.
Proposez une répartition des barres d’acier (diamètre et espacement) en fonction de la section d’acier calculée, en respectant les règles de l’Eurocode 2.

3. Dessin:

Dessinez une vue en plan de la semelle en indiquant clairement la disposition des armatures en haut et en bas.
Dessinez une coupe de la semelle en indiquant les armatures, les enrobages, et les dimensions.

Correction : Ferraillage semelle isolée

1. Calcul de la semelle

1.a. Calcul de la charge totale à transmettre

La semelle doit transmettre l’ensemble des charges appliquées sur la colonne. On additionne la charge permanente (G) et la charge d’exploitation (Q).

Formule :

\[ N_{tot} = G + Q \]

Données :

$ G = 250\ \text{kN} $
$ Q = 100\ \text{kN} $

Calcul :

\[ N_{tot} = 250\ \text{kN} + 100\ \text{kN} \] \[ N_{tot} = 350\ \text{kN} \]

1.b. Détermination de la surface minimale de la semelle

La surface minimale de la semelle est déterminée afin de ne pas excéder la contrainte admissible du sol. On calcule l’aire minimale requise en divisant la charge totale par la contrainte admissible du sol.

Formule :

\[ A_{min} = \frac{N_{tot}}{\sigma_{adm}} \]

Données :

$ N_{tot} = 350\ \text{kN} $
Contrainte admissible du sol : $ \sigma_{adm} = 150\ \text{kN/m}^2 $

Calcul :

\[ A_{min} = \frac{350\ \text{kN}}{150\ \text{kN/m}^2} \approx 2,33\ \text{m}^2 \]

Remarque : On arrondira à une valeur pratique supérieure lors de la proposition des dimensions.

1.c. Proposition des dimensions de la semelle

Il convient de choisir des dimensions qui offrent une aire supérieure ou égale à $2,33\ \text{m}^2$. La semelle peut être de forme carrée ou rectangulaire.

Proposition (forme carrée) :

Pour une semelle carrée de côté $L$ :

\[ L = \sqrt{A_{min}} \approx \sqrt{2,33} \approx 1,53\ \text{m} \]

Afin d’intégrer une marge de sécurité et faciliter la mise en œuvre, on pourra arrondir à une valeur pratique.

Proposition : Une semelle de $1,6\ \text{m} \times 1,6\ \text{m}$

Aire proposée :

\[ A = 1,6\ \text{m} \times 1,6\ \text{m} = 2,56\ \text{m}^2 \]

Cette aire est supérieure à $2,33\ \text{m}^2$ et assure une répartition adéquate des charges.

2. Conception du ferraillage

2.a. Confirmation du moment fléchissant maximal

L’énoncé indique un moment fléchissant dû à la charge centrée. Nous confirmons simplement que le moment maximal à reprendre est bien celui indiqué.

Donnée :

$M_{Ed} = 50\ \text{kNm}$

Conclusion :
Le moment fléchissant à reprendre par l’armature est de $50\ \text{kNm}$.

2.b. Calcul de la section d’acier nécessaire

Pour une section rectangulaire en flexion, on utilise la formule simplifiée de la vérification de la résistance en flexion dans le domaine des déformations (en tenant compte de la position de la ligne neutre). Une méthode classique consiste à utiliser la relation :

\[ M_{Ed} = A_s \cdot f_{yd} \cdot z \]

où

$A_s$ est l’aire d’acier à déterminer,
$f_{yd}$ est la contrainte d’élasticité de l’acier de calcul,
$z$ est le bras effectif de la section.

Choix des données et hypothèses :

1. Calcul de l’épaisseur utile (hauteur effective) :

La hauteur totale de la semelle est donnée : $h = 600\ \text{mm}$.
L’enrobage minimum est de $50\ \text{mm}$ (distance entre le bord et l’armature).
Pour la semelle en flexion, on prend généralement l’armature dans la zone tendue (partie inférieure).

Ainsi, la hauteur effective $d$ est approximativement :

\[ d = h – \text{enrobage} \] \[ d = 600\ \text{mm} – 50\ \text{mm} \] \[ d = 550\ \text{mm} \]

2. Bras effectif $z$ :

En pratique, le bras effectif est souvent estimé à environ $0,9 \, d$.

\[ z \approx 0,9 \times 550\ \text{mm} = 495\ \text{mm} \]

On arrondira ici $z \approx 495\ \text{mm}$.

3. Valeur de $f_{yd}$ (tension de calcul de l’acier) :

Pour un acier Fe 500, la résistance caractéristique est $f_{yk} = 500\ \text{MPa}$.

En appliquant un coefficient partiel de sécurité (typiquement $\gamma_s = 1,15$ en Eurocode 2), on obtient :

\[ f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} \approx \frac{500\ \text{MPa}}{1,15} \approx 435\ \text{MPa} \]

(On arrondira à $435\ \text{MPa}$.)

Formule pour la détermination de $A_s$ :

\[ A_s = \frac{M_{Ed}}{f_{yd} \cdot z} \]

Conversion et données numériques :

$M_{Ed} = 50\ \text{kNm} = 50\,000\ \text{N}\cdot\text{m}$
Pour une cohérence des unités, il est préférable de travailler en N et mm. Sachant que $1\ \text{m} = 1000\ \text{mm}$ :

\[ M_{Ed} = 50\,000\ \text{N}\cdot\text{m} = 50\,000 \times 1000\ \text{N}\cdot\text{mm} \] \[ M_{Ed} = 50\,000\,000\ \text{N}\cdot\text{mm} \]

$f_{yd} = 435\ \text{N/mm}^2$
$z = 495\ \text{mm}$

Calcul :

\[ A_s = \frac{50\,000\,000\ \text{N}\cdot\text{mm}}{435\ \text{N/mm}^2 \times 495\ \text{mm}} \]

Calcul du dénominateur :

\[ 435 \times 495 = 215\,325\ \text{N/mm} \]

Puis :

\[ A_s \approx \frac{50\,000\,000}{215\,325} \approx 232,1\ \text{mm}^2 \]

Conclusion :
La section d’acier nécessaire est d’environ $232\ \text{mm}^2$.

2.c. Proposition de la répartition des barres d’acier

Nous allons proposer une solution de ferraillage qui respecte l’exigence de l’Eurocode 2, en assurant une répartition homogène et en vérifiant que la surface fournie dépasse la surface minimale calculée.

Choix des barres :

Diamètre des barres proposé : $20\ \text{mm}$

Aire d’une barre de 20 mm :

\[ A_{bar} = \frac{\pi}{4} \times d^2 \] \[ A_{bar} = \frac{\pi}{4} \times (20\ \text{mm})^2 \] \[ A_{bar} \approx 314\ \text{mm}^2 \]

Analyse :

La surface d’une barre de 20 mm ($314\ \text{mm}^2$) est déjà supérieure à la section minimale requise ($232\ \text{mm}^2$).
Toutefois, pour assurer une bonne répartition de la tension, une solution de doublement (avec au moins deux barres) est généralement préconisée en pratique (notamment pour des raisons de redondance, de répartition des efforts et de contrôle de la fissuration).

Proposition :

Disposition principale :
On propose de placer deux barres de 20 mm dans la partie tendue (zone inférieure de la semelle).
La surface d’acier fournie sera :

\[ A_{s,\text{fournie}} = 2 \times 314\ \text{mm}^2 = 628\ \text{mm}^2 \]

Ce qui est largement supérieur à la surface minimale calculée, offrant ainsi un coefficient de sécurité et respectant les exigences minimales.

Espacement et positionnement :

Les barres doivent être placées à une distance d’enrobage minimum de $50 mm$ du bord de la semelle.
L’espacement entre les barres, ainsi que leur positionnement dans le sens longitudinal, doit respecter les prescriptions de l’Eurocode 2 (en général, un espacement minimum de l’ordre de $20 mm$ ou égal au diamètre de la barre, et un maximum imposé en fonction de la dimension de la section).
Par exemple, dans une semelle de $1,6\ \text{m} \times 1,6\ \text{m}$, on peut disposer les barres de manière linéaire sur la largeur en laissant environ $50 mm$ de recul aux bords et un espacement régulier entre elles.
Exemple de proposition :
- Pour l’armature inférieure, disposer deux barres de 20 mm alignées longitudinalement, placées à $50 mm$ du bord inférieur et espacées d’environ $200\ \text{mm}$ entre elles (l’espacement exact pouvant être ajusté en fonction de la configuration globale du ferraillage et des liaisons avec l’armature supérieure).
- Une armature complémentaire (maillage bidirectionnel) pourra être prévue dans l’ensemble de la semelle pour assurer le contrôle de la fissuration et la distribution homogène des efforts.

Conclusion sur la répartition :

On propose d’utiliser deux barres de 20 mm de diamètre dans la zone tendue (inférieure) de la semelle, avec un positionnement assurant un enrobage minimum de $50\ \text{mm}$ sur tous les côtés. Ce dispositif, souvent complété par un maillage secondaire (par exemple à 200 mm c/c), satisfait aux exigences de l’Eurocode 2.

3. Dessin

3.a. Vue en plan de la semelle

La vue en plan doit présenter :

La forme de la semelle (ici, carrée de $1,6\ \text{m} \times 1,6\ \text{m}$).
La position de la colonne (de base $300\ \text{mm} \times 300\ \text{mm}$) centrée ou décentrée selon le chargement.
La disposition des armatures (généralement un maillage bidirectionnel en acier, avec une armature principale dans le sens de la flexion).

Description proposée :

Dessiner un carré de $1,6\ \text{m} \times 1,6\ \text{m}$.
Indiquer la position de la colonne au centre (ou décalée suivant les cas particuliers, ici on suppose une charge centrée).
Tracer le maillage d’armatures avec :
- Des barres continues disposées en deux directions (par exemple, deux barres parallèles dans le sens nord-sud et deux dans le sens est-ouest), avec un espacement adapté (par exemple 200 mm c/c).
Les barres situées dans la zone tendue (inférieure) seront indiquées sur la vue en plan avec leur position par rapport aux bords, en tenant compte de l’enrobage de $50\ \text{mm}$.

3.b. Coupe de la semelle

La coupe (profil vertical) de la semelle doit montrer :

L’épaisseur totale de la semelle $h = 600\ \text{mm}$.
Les enrobages (50 mm en haut et en bas, et de chaque côté).
La ou les couches d’armatures :
- La couche inférieure (tendue) positionnée à $50\ \text{mm}$ du bas, avec les barres de 20 mm de diamètre.
- La couche supérieure, qui pourra être similaire ou différente en fonction des exigences de stabilité (notamment en compression et pour le contrôle des fissures).

Description proposée pour le dessin de la coupe :

Tracer un rectangle vertical de hauteur $600\ \text{mm}$.
Indiquer sur le bas un enrobage de $50\ \text{mm}$ avant le début de la couche d’armatures tendues.
Dessiner la ou les barres (représentées par des cercles ou des rectangles en coupe) de 20 mm de diamètre dans la zone tendue.
Indiquer également l’enrobage supérieur de $50\ \text{mm}$ en haut du rectangle.
Noter sur le dessin la valeur de la hauteur utile $d = 550\ \text{mm}$ et le bras effectif $z \approx 495\ \text{mm}$.

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