Calcul du flambement
Comprendre le calcul du flambement
Vous êtes ingénieur en structure et devez concevoir une colonne en acier pour soutenir une partie d’un bâtiment.
La colonne doit avoir une hauteur de 4 mètres et supporter une charge axiale de 150 kN. L’objectif est de déterminer si la colonne est suffisamment résistante au flambement selon l’Eurocode 3.
Données:
- Longueur de la colonne : \( L = 4 \, \text{m} \)
- Charge axiale : \( F = 150 \, \text{kN} \)
- Matériau : Acier S275
- Section transversale : profil HEB 200
- Conditions de liaison : encastrement en bas et pivot en haut
Instruction:
- Calculer la longueur de flambement effective \( L_{\text{ef}} \).
- Déterminer le rayon de giration \( i \) pour la section HEB 200 en acier S275.
- Calculer l’élancement \( \lambda \) de la colonne.
- Trouver la valeur de la contrainte critique de flambement \( \sigma_{\text{cr}} \) selon l’Eurocode 3.
- Vérifier si la colonne est adéquate pour la charge donnée.
Correction : calcul du flambement
1. Calcul de la Longueur de Flambement Effective \( L_{\text{ef}} \)
Pour une colonne avec encastrement en bas et pivot en haut, le coefficient de longueur effective est généralement de 0.7. Donc,
\[ L_{\text{ef}} = 0.7 \times L \] \[ L_{\text{ef}} = 0.7 \times 4 \] \[ L_{\text{ef}} = 2.8 \, \text{m}. \]
2. Détermination du Rayon de Giration \( i \)
Pour une section HEB 200, consultez les tables de l’Eurocode pour trouver \( i \). Supposons que
\[ i = 85.9 \, \text{mm} \]
pour cet exemple.
3. Calcul de l’Élancement \( \lambda \)
\[ \lambda = \frac{L_{\text{ef}}}{i} = \frac{2800 \, \text{mm}}{85.9 \, \text{mm}} \approx 32.6 \]
4. Contrainte Critique de Flambement \( \sigma_{\text{cr}} \)
La contrainte critique de flambement peut être calculée à l’aide de la formule d’Euler pour les colonnes élancées, ou à l’aide des courbes de flambement de l’Eurocode. La formule d’Euler est :
\[ \sigma_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 \times E}{\left( \frac{L_{\text{ef}}}{i} \right)^2 } \]
où \( E \) est le module d’élasticité de l’acier (par exemple, \( 210 \, \text{kN/mm}^2 \) pour l’acier S275).
En insérant les valeurs :
\[ \sigma_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 \times 210 \, \text{kN/mm}^2}{(32.6)^2} \] \[ \sigma_{\text{cr}} \approx 63.3 \, \text{kN/mm}^2 \]
5. Vérification de la Capacité de Charge
La contrainte due à la charge appliquée est :
\[ \sigma_{\text{appliqué}} = \frac{F}{A} \]
où \( A \) est l’aire de la section transversale du profil HEB 200.
Supposons que \( A = 53.8 \, \text{cm}^2 \) (valeurs typiques pour HEB 200). Convertir en \( \text{mm}^2 \) :
\[ A = 5380 \, \text{mm}^2 \]
Alors,
\[ \sigma_{\text{appliqué}} = \frac{150 \times 10^3 \, \text{N}}{5380 \, \text{mm}^2} \] \[ \sigma_{\text{appliqué}} \approx 27.88 \, \text{N/mm}^2. \]
Comparaison :
- Si \( \sigma_{\text{appliqué}} < \sigma_{\text{cr}} \), la colonne est adéquate.
- Ici, \( 27.88 \, \text{N/mm}^2 < 63.3 \, \text{N/mm}^2 \), donc la colonne est suffisamment résistante au flambement.
Conclusion
La colonne en acier de section HEB 200 et de longueur 4 m, avec encastrement en bas et pivot en haut, est suffisamment résistante pour supporter une charge axiale de 150 kN sans risque de flambement, selon l’Eurocode 3.
Calcul du flambement
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