Sélection de Profilés en Acier et en Aluminium
Comprendre la sélection de profilés en acier et en aluminium
Une municipalité prévoit de construire une passerelle piétonne pour desservir un parc urbain. La conception de la structure portante repose sur l’utilisation d’un ou plusieurs profilés (poutres) en acier ou en aluminium. On considère ici une poutre principale, de portée complète, simplement appuyée sur deux supports aux extrémités (coefficient de flambement \(K = 1\)).
Spécifications Techniques et Données de Base :
1. Géométrie de la passerelle :
- Portée (longueur) de la poutre : 30 m (soit 30 000 mm)
- Largeur de la passerelle : 4 m
- Surface totale : \(30\,\text{m} \times 4\,\text{m} = 120\,\text{m}^2\)
2. Charges appliquées (uniformément réparties) :
- Charge Permanente (G) : 3 kN/m\(^2\)
- Charge d’Exploitation (Q) : 5 kN/m\(^2\)
- Charges combinées selon Eurocode :
– Coefficient partiel pour G : \(\gamma_G = 1.35\)
– Coefficient partiel pour Q : \(\gamma_Q = 1.5\)
3. Effets de charge estimés :
- Moment fléchissant maximum estimé : 200 kNm
- Effort tranchant maximal : À déterminer en fonction de la répartition de la charge (souvent, pour une poutre simplement appuyée, \(V_{\text{max}} = \frac{q \cdot L}{2}\))
- Déflexion admissible : \(L/300\) (soit, pour \(L = 30\,\text{m}\), une flèche maximale de 100 mm)
4. Propriétés mécaniques des matériaux :
Pour l’acier :
- Module d’élasticité : \(E = 210\,000\,\text{N/mm}^2\)
- Limite d’élasticité : \(\sigma_y = 235\,\text{N/mm}^2\)
- Norme de conception : EN 1993
Pour l’aluminium :
- Module d’élasticité : \(E = 70\,000\,\text{N/mm}^2\)
- Limite d’élasticité (exemple d’alliage) : \(\sigma_{Al} = 150\,\text{N/mm}^2\)
- Norme de conception : EN 1999
5. Conditions environnementales :
- Zone urbaine avec humidité modérée (pas de charges sismiques ou de vent significatives à considérer pour cet exercice).
Tâches de l’Exercice :
1. Analyse des Charges :
- a. Calculer la charge totale agissant sur la passerelle en multipliant les charges surfaciques par la surface totale.
- b. Déterminer les combinaisons de charges selon l’Eurocode en appliquant les coefficients partiels \(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\).
2. Sélection des Matériaux :
- a. Comparer les propriétés mécaniques, la densité et les coûts de l’acier et de l’aluminium.
- b. Justifier le choix du matériau le plus adapté pour supporter la portée et les charges du projet.
3. Dimensionnement des Profilés :
- a. Dimensionner la section des profilés en calculant le module de résistance requis pour résister au moment fléchissant (en utilisant la formule \(W_{\text{req}} = \frac{M}{\sigma_{\text{adm}}}\)).
- b. Vérifier la résistance au cisaillement en déterminant l’aire effective requise pour que la contrainte de cisaillement ne dépasse pas la valeur admissible.
4. Vérification selon Eurocode :
- a. Vérifier que le profilé sélectionné satisfait aux critères de stabilité, de fatigue et de tolérance aux déformations (vérification de la flèche maximale par exemple).
- b. S’assurer que toutes les vérifications (flexion, cisaillement, compression) sont conformes aux prescriptions des Eurocodes (EN 1993 pour l’acier et EN 1999 pour l’aluminium).
Correction : sélection de profilés en acier et en aluminium
1. Analyse des Charges
1.1 Calcul de la Charge Totale
Données :
- Portée de la poutre : 30 m
- Largeur de la passerelle : 4 m
Surface totale :
\[ A = 30\,\text{m} \times 4\,\text{m} \] \[ A = 120\,\text{m}^2 \]
- Charge Permanente (G) : 3 kN/m\(^2\)
- Charge d’Exploitation (Q) : 5 kN/m\(^2\)
Calcul :
La charge uniforme par m\(^2\) est la somme de G et Q :
\[ q = G + Q \] \[ q = 3 + 5 \] \[ q = 8\,\text{kN/m}^2 \]
La force totale appliquée sur la passerelle est alors :
\[ F_{\text{total}} = q \times A \] \[ F_{\text{total}} = 8\,\text{kN/m}^2 \times 120\,\text{m}^2 \] \[ F_{\text{total}} = 960\,\text{kN} \]
Explication :
On détermine d’abord la surface de la passerelle, puis on additionne les charges permanentes et d’exploitation pour obtenir la charge surfacique uniforme. La multiplication par la surface donne la force totale appliquée.
1.2 Combinaison des Charges selon Eurocode
Données supplémentaires :
- Coefficient partiel pour la charge permanente : \(\gamma_G = 1.35\)
- Coefficient partiel pour la charge d’exploitation : \(\gamma_Q = 1.5\)
Calcul des charges totales :
- Charge permanente totale :
\[ G_{\text{tot}} = G \times A = 3\,\text{kN/m}^2 \times 120\,\text{m}^2 \] \[ G_{\text{tot}} = 360\,\text{kN} \]
Appliquons le coefficient :
\[ G^* = 1.35 \times 360\,\text{kN} \] \[ G^* = 486\,\text{kN} \]
- Charge d’exploitation totale :
\[ Q_{\text{tot}} = Q \times A \] \[ Q_{\text{tot}} = 5\,\text{kN/m}^2 \times 120\,\text{m}^2 \] \[ Q_{\text{tot}} = 600\,\text{kN} \]
Appliquons le coefficient :
\[ Q^* = 1.5 \times 600\,\text{kN} \] \[ Q^* = 900\,\text{kN} \]
Charge combinée (état limite ultime) :
\[ F_{\text{comb}} = G^* + Q^* \] \[ F_{\text{comb}} = 486\,\text{kN} + 900\,\text{kN} \] \[ F_{\text{comb}} = 1386\,\text{kN} \]
Explication :
En appliquant les coefficients partiels aux charges, on obtient la sollicitation ultime à laquelle la structure doit résister, ici 1386 kN.
2. Sélection des Matériaux
2.1 Propriétés de l’Acier et de l’Aluminium
Acier :
- Module d’élasticité : \(E = 210\,000\,\text{N/mm}^2\)
- Limite d’élasticité : \(\sigma_y = 235\,\text{N/mm}^2\)
- Norme de conception : EN 1993
Aluminium :
- Module d’élasticité : \(E = 70\,000\,\text{N/mm}^2\)
- Limite d’élasticité (exemple d’alliage) : \(\sigma_{Al} = 150\,\text{N/mm}^2\)
- Norme de conception : EN 1999
Explication :
L’acier offre une résistance mécanique supérieure et une meilleure performance en flexion pour une même section, tandis que l’aluminium est plus léger mais nécessiterait des sections plus grandes pour résister aux mêmes sollicitations.
2.2 Justification du Choix
Compte tenu de la portée de 30 m et du moment fléchissant critique (voir ci-dessous), l’acier est privilégié pour :
- Sa résistance mécanique et sa capacité à supporter de grandes sollicitations sans nécessiter des sections excessivement volumineuses.
- Un meilleur rapport coût/efficacité pour ce type d’application.
3. Dimensionnement des Profilés
3.1 Vérification de la Résistance en Flexion
Données :
- Moment fléchissant maximum : \(M = 200\,\text{kNm}\)
- Pour l’acier, \(\sigma_y = 235\,\text{N/mm}^2\)
- Pour l’aluminium, \(\sigma_{Al} = 150\,\text{N/mm}^2\)
Formule :
Le module de résistance requis est donné par :
\[ W_{\text{req}} = \frac{M}{\sigma_{\text{adm}}} \]
Remarque : \(M\) doit être exprimé en N·mm pour être compatible avec \(\sigma\) en N/mm\(^2\).
Conversion et Calcul pour l’acier :
- Convertir \(M\) :
\[ M = 200\,\text{kNm} = 200\,000\,\text{N·m} \] \[ M = 200\,000 \times 10^3\,\text{N·mm} = 200\,000\,000\,\text{N·mm} \]
- Calcul :
\[ W_{\text{req, acier}} = \frac{200\,000\,000\,\text{N·mm}}{235\,\text{N/mm}^2} \] \[ W_{\text{req, acier}} \approx 851\,064\,\text{mm}^3 \]
Calcul pour l’aluminium :
\[ W_{\text{req, Al}} = \frac{200\,000\,000\,\text{N·mm}}{150\,\text{N/mm}^2} \] \[ W_{\text{req, Al}} \approx 1\,333\,333\,\text{mm}^3 \]
Explication :
On convertit le moment en N·mm et on divise par la contrainte admissible pour obtenir le module de section minimal nécessaire pour que la poutre supporte le moment appliqué.
3.2 Vérification de la Résistance au Cisaillement
Pour une poutre simplement appuyée, la charge linéique appliquée se déduit en multipliant la charge surfacique par la largeur portée par le profilé.
Calcul de la charge linéique :
\[ q_{\text{linéique}} = 8\,\text{kN/m}^2 \times 4\,\text{m} \] \[ q_{\text{linéique}} = 32\,\text{kN/m} \]
Calcul de l’effort tranchant maximal (pour une poutre simplement appuyée) :
\[ V_{\text{max}} = \frac{q_{\text{linéique}} \times L}{2} \] \[ V_{\text{max}} = \frac{32\,\text{kN/m} \times 30\,\text{m}}{2} \] \[ V_{\text{max}} = 480\,\text{kN} \]
Vérification par la contrainte de cisaillement :
La relation à vérifier est :
\[ \tau = \frac{V_{\text{max}}}{A_{\text{eff}}} \leq \tau_{\text{adm}} \]
où \(A_{\text{eff}}\) est l’aire effective en cisaillement et \(\tau_{\text{adm}}\) est la contrainte de cisaillement admissible.
Exemple pour l’acier :
Supposons que la contrainte de cisaillement admissible pour l’acier soit, par exemple, \(\tau_{\text{adm}} = 0.6 \times \sigma_y \approx 141\,\text{N/mm}^2\).
Convertir \(V_{\text{max}}\) en N :
\[ 480\,\text{kN} = 480\,000\,\text{N} \]
Calcul :
\[ A_{\text{eff}} \geq \frac{480\,000\,\text{N}}{141\,\text{N/mm}^2} \approx 3404\,\text{mm}^2 \]
Explication :
En multipliant la charge surfacique par la largeur, on obtient la charge linéique sur la poutre. Le maximum de cisaillement pour une poutre simplement appuyée se trouve à l’appui et on détermine l’aire de section nécessaire pour que la contrainte de cisaillement ne dépasse pas la valeur admissible.
4. Vérification selon Eurocode
4.1 Vérification de la Flèche (Déflexion)
Données :
- Limite de déflexion : \(\delta_{\text{max}} = \frac{L}{300}\)
- Pour \(L = 30\,\text{m} = 30\,000\,\text{mm}\) :
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{30\,000}{300} = 100\,\text{mm} \]
Explication :
La flèche maximale admissible est fixée par rapport à la portée. Le dimensionnement doit s’assurer que la déformation sous charges combinées reste inférieure à 100 mm.
4.2 Autres Vérifications Eurocode
- Fatigue : Vérifier que la structure, soumise à des cycles répétés, présente une marge de sécurité suffisante.
- Tolérance aux déformations : S’assurer que la déformation en service ne dépasse pas les limites prescrites par l’Eurocode.
- Application des coefficients partiels : Comme détaillé, toutes les charges doivent être combinées en appliquant \(\gamma_G = 1.35\) et \(\gamma_Q = 1.5\).
Explication :
Ces vérifications garantissent la sécurité globale de la structure en prenant en compte non seulement la résistance immédiate (flexion, cisaillement, compression) mais également le comportement en service (déformations et fatigue).
Sélection de profilés en acier et en aluminium
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