Calculs de Résistance et Déformation des Éléments Métalliques
Comprendre les Calculs de Résistance et Déformation
Vous êtes ingénieur(e) en construction métallique et travaillez sur la conception d’un hangar industriel. Le hangar aura une charpente principalement composée de poutres et de colonnes en acier.
Pour assurer la sécurité et la durabilité de la structure, vous devez calculer la résistance et la déformation des éléments clés de la charpente sous les charges prévues, notamment le poids de la toiture, l’effet du vent, et les charges utiles.
Données:
- Matériau: Acier S355
- Profil de la poutre: IPE 300
- Longueur de la poutre: 8 mètres
- Charge permanente (G, incluant le poids propre de la poutre): 5 kN/m
- Charge d’exploitation (Q, charge utile): 3 kN/m
- Charge de vent (W): 1.5 kN/m sur la face latérale
- Module d’élasticité de l’acier (E): 210 GPa
- Moment d’inertie de la section (I): \(7900\, \text{cm}^4\)
Questions:
1. Calcul de la charge totale appliquée à la poutre
- Calculer la charge totale linéaire qui agit sur la poutre en tenant compte de la charge permanente, de la charge d’exploitation, et de l’effet du vent.
2. Calcul du moment fléchissant maximal (Mmax)
- En utilisant la théorie des poutres sur deux appuis simples et en considérant la charge totale calculée précédemment, déterminer le moment fléchissant maximal dans la poutre. Utiliser l’hypothèse que la charge est uniformément répartie sur toute la longueur de la poutre.
3. Calcul de la contrainte maximale dans la poutre
- En utilisant le moment fléchissant maximal obtenu, calculer la contrainte maximale dans la poutre
4. Calcul de la flèche maximale de la poutre
- Calculer la flèche maximale (déformation verticale) au milieu de la poutre due à la charge totale.
Correction : Calculs de Résistance et Déformation
1. Calcul de la charge totale appliquée à la poutre
La charge totale linéaire (\(q_{\text{tot}}\)) se calcule en additionnant la charge permanente (G), la charge d’exploitation (Q), et l’effet du vent (W).
\[ q_{\text{tot}} = G + Q + W \] \[ q_{\text{tot}} = 5\, \text{kN/m} + 3\, \text{kN/m} + 1.5\, \text{kN/m} \] \[
q_{\text{tot}} = 9.5\, \text{kN/m} \]
2. Calcul du moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\))
Le moment fléchissant maximal pour une charge uniformément répartie est donné par:
\[ M_{\text{max}} = \frac{q_{\text{tot}} \cdot L^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{9.5\, \text{kN/m} \cdot (8\, \text{m})^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{9.5 \cdot 64}{8}\, \text{kNm} \] \[
M_{\text{max}} = 76\, \text{kNm} \]
3. Calcul de la contrainte maximale dans la poutre
La contrainte maximale (\(\sigma_{\text{max}}\)) est calculée en utilisant la formule de la contrainte due à un moment fléchissant:
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}} \cdot y}{I} \]
où \(y = 150\, \text{mm} = 15\, \text{cm}\) (distance de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre), et \(I = 7900\, \text{cm}^4\).
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{76 \cdot 10^3 \cdot 15}{7900}\, \text{N/cm}^2 \] \[ \sigma_{\text{max}} = \frac{1140000}{7900}\, \text{N/cm}^2 \] \[ \sigma_{\text{max}} = 144.30\, \text{N/mm}^2 \]
4. Calcul de la flèche maximale de la poutre
La flèche maximale (\(\delta_{\text{max}}\)) est calculée en utilisant la formule de la flèche pour une charge uniformément répartie:
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5q_{\text{tot}}L^4}{384EI} \]
Avec \(E = 210\, \text{GPa} = 210 \times 10^3\, \text{N/mm}^2\), et \(I = 7900\, \text{cm}^4 = 7.9 \times 10^6\, \text{mm}^4\),
\[ = \frac{5 \cdot 9.5 \cdot 10^3 \cdot (8000)^4}{384 \cdot 210 \times 10^3 \cdot 7.9 \times 10^6}\, \text{mm} \] \[ = \frac{5 \cdot 9.5 \cdot 40960000000000}{384 \cdot 210 \times 7.9 \times 10^9}\, \text{mm} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 20.02\, \text{mm} \]
Résumé des résultats
- Charge totale linéaire sur la poutre: 9.5 kN/m
- Moment fléchissant maximal: 76 kNm
- Contrainte maximale dans la poutre: 144.30 \(\text{N/mm}^2\)
- Flèche maximale de la poutre: 20.02 mm
Conclusion:
Ces calculs montrent que la poutre IPE 300 en acier S355 est capable de supporter les charges prévues avec une contrainte maximale de \(144.30\, \text{N/mm}^2\) et une déformation maximale de \(20.02\, \text{mm}\).
Ces valeurs doivent être comparées aux limites admissibles pour l’acier S355 pour s’assurer que la poutre est bien dimensionnée en termes de résistance et de déformation.
La limite élastique de l’acier S355 étant de 355 MPa, la contrainte calculée est largement inférieure à cette limite, ce qui indique que la poutre est adéquate en termes de résistance.
La flèche maximale doit également être évaluée par rapport aux critères de service pour garantir le confort et la sécurité.
Calculs de Résistance et Déformation
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