Analyse d’une Poutre en Acier
Comprendre l’Analyse d’une Poutre en Acier
Vous êtes ingénieur en structure et devez concevoir une poutre en acier pour une passerelle piétonnière.
La poutre doit supporter une charge uniformément répartie et répondre aux normes de l’Eurocode.
Votre tâche est de déterminer la taille appropriée de la poutre et de vérifier sa capacité portante en considérant les propriétés du matériau métallique.
Données:
1. Charge uniformément répartie: 5 kN/m.
2. Longueur de la poutre (L): 10 m.
3. Acier utilisé: S355.
- Limite d’élasticité (\(f_y\)): 355 MPa.
- Module d’élasticité (\(E\)): 210 GPa.
4. Coefficient de sécurité: 1.5.
5. Norme: Eurocode 3 (EN 1993-1-1).
Consignes:
1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{max}\)):
2. Sélection de la Section de la Poutre:
- Choisissez une section en I standard (par exemple, IPE, HEA).
- Utilisez les tables de propriétés des sections d’acier pour trouver le moment d’inertie (I) et la distance maximale de la fibre neutre à la surface de la poutre (\(y_{max}\)).
3. Calcul de la Contrainte de Flexion (\(\sigma\)):
- Vérifiez que la contrainte de flexion ne dépasse pas la limite d’élasticité réduite par le coefficient de sécurité
4. Vérification selon l’Eurocode:
- Référez-vous aux exigences de l’Eurocode 3 pour la vérification supplémentaire, y compris la flèche.
Correction : Analyse d’une Poutre en Acier
1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal \((M_{\text{max}})\)
Formule:
\[ M_{\text{max}} = \frac{wL^2}{8} \]
Données:
- \( w = 5 \, \text{kN/m} \)
- \( L = 10 \, \text{m} \)
Calcul:
\[ M_{\text{max}} = \frac{5 \times 10^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{500}{8} = 62.5 \, \text{kNm} \]
2. Sélection de la Section de la Poutre
Choix: Section IPE 300.
Propriétés de la Section:
- Moment d’inertie (I): \(7900 \, \text{cm}^4\)
- Distance maximale de la fibre neutre à la surface \((y_{\text{max}})\): \(15 \, \text{cm}\)
3. Calcul de la Contrainte de Flexion (σ)
Formule:
\[ \sigma = \frac{M_{\text{max}} \cdot y_{\text{max}}}{I} \]
- Conversion de \( M_{\text{max}} \): \( 62.5 \, \text{kNm} = 6250 \, \text{kNcm} \)
Calcul:
\[ \sigma = \frac{6250 \times 15}{7900} \] \[ \sigma = \frac{93750}{7900} \approx 11.87 \, \text{MPa} \]
Limite d’élasticité réduite par le coefficient de sécurité:
\[ \frac{f_y}{\text{Coefficient de sécurité}} \] \[ = \frac{355}{1.5} \approx 236.67 \, \text{MPa} \]
Vérification:
\[ 11.87 \, \text{MPa} < 236.67 \, \text{MPa} \]
La contrainte de flexion est bien inférieure à la limite d’élasticité réduite, donc la section est adéquate à cet égard.
4. Vérification selon l’Eurocode:
a. Vérification de la Flèche (\(\Delta_{\text{max}}\))
Formule:
\[ \Delta_{\text{max}} = \frac{5wL^4}{384EI} \]
Données:
- \(w = 5 \, \text{kN/m} = 5000 \, \text{N/m}\) (conversion en N)
- \(L = 10 \, \text{m}\)
- \(E = 210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\) (conversion en N/m²)
- \(I = 7900 \, \text{cm}^4 = 7.9 \times 10^{-4} \, \text{m}^4\) (conversion en m⁴)
Calcul de la flèche maximale:
\[ = \frac{5 \times 5000 \times 10^4}{384 \times 210 \times 10^9 \times 7.9 \times 10^{-4}} \] \[ = \frac{250000 \times 10^4}{321.024 \times 10^9} \, \text{m} \] \[ \approx \frac{250 \times 10^8}{321.024 \times 10^3} \, \text{m} \] \[ \approx \frac{250000}{321.024} \, \text{mm} \]
Comparaison avec les limites de l’Eurocode:
- L’Eurocode 3 stipule généralement une limite de flèche de \(L/250\) pour les structures en acier.
\[ \frac{L}{250} = \frac{10 \, \text{m}}{250} \] \[ = 0.04 \, \text{m} = 40 \, \text{mm} \]
- Si \(\Delta_{\text{max}} < 40 \, \text{mm}\), la poutre respecte les critères de flèche.
Analyse d’une Poutre en Acier
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